Semi Direct 제품 간의 Isomorphisms

Question

반 직접 제품을 사용하여 순서 20 그룹을 분류 할 때 결국에는 사소하지 않은 동형을 찾는 자신을 찾습니다. $\phi : V_4 \to Z_4$. 만약$V_4 = \langle a, b \rangle = \{1, a, b, ab \}$ , 및 $Z_4 = \langle x \rangle = \{1, x, x^2, x^3 \}$, 그러한 동형이 세 가지 있습니다. $\phi_1$ 정의 $\phi_1(a) = x^2, \phi_1(b) = 1$, $\phi_2$ 정의 $\phi_2(a) = 1$ 과 $\phi_2(b) = x^2$, 및 $\phi_3$ 정의 $\phi_3(a) = x^2$ 과 $\phi_3(b) = x^2$. 이 컬렉션은 세 가지 세미 다이렉트 제품을 제공합니다.$Z_5$ 와 $V_4$. 나는이 세 가지 반 직접 제품이 모두자가 형을 찾을 수 있는지를 말하는 정리를 사용하여 서로 동형이라는 것을 알고 있습니다.$\tau : V_4 \to V_4$, 다음 $Z_5 \rtimes_\phi V_4 \cong Z_5 \rtimes_{\phi \circ \tau} V_4$, 그러나이 정리는 내 책에 언급되어 있지 않으며 연습 문제도 아니므로 내 질문은 다음과 같습니다.

이 그룹 사이의 동형을 볼 수있는 다른 방법이 있습니까?

감사

Answer 1

모든 동형 $V_4$ ...에 $Z_4$ 반 직접 제품에서 핵심 요소 여야하는 커널이 있습니다. $z$ 주문 $2$. 몫을 보면서$G/Z_5$ 우리는 세 개의 하위 그룹을 찾습니다. $10$, 각각 반드시 정상 $G$ 주문 $20$, 그리고 그들은 교차합니다 $Z_5$. 따라서 그들 중 하나는$H$, 포함 할 수 없음 $z$. 그 후$G\cong H\times \langle z\rangle$. 그룹$H$ 반 직접 제품입니다 $Z_5$ 으로 $Z_2$.