세트가 닫 혔음을 증명

Question

설정 여부를 확인해야합니다 $A=\left\{(x,y)|xy\ge0\right\}$열려 있거나 닫혀 있습니다. 나는 그것이 열려 있지 않다는 것을 증명했다. 폐쇄 여부를 확인하고 싶을 때$A^C=\left\{(x,y)|x<0\lor y<0\right\}\cap\left\{(x,y)|x>0 \lor y>0\right\}$ 열려 있습니다. $A^C$ 보완하다 $A$. 그래서 내가 지적하면$(-1,0)$ 증명하기 쉽습니다 $A^C$열려 있지 않으므로 닫히지 않습니다. 이 올바른지? 초기 설정$A$ 나는 이렇게 썼다 $A=\left\{(x,y)|x\ge0\land y\ge0\right\}\cup\left\{(x,y)|x\le0\land y\le0\right\}$, 그리고 그것이 내가 얻은 방법입니다 $A^C$.

Answer 1

포인트를 고려한다면 $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ 그때 $A^C=\left\{(x,y)|x<0\land y>0\right\}\cup\left\{(x,y)|x>0 \land y<0\right\}$.

어떠한 것도 $(x,y)\in\ A^C$ 허락하다 $d_1=\text{distance of $(x, y)$ to the axis $소$}$ 과 $d_2=\text{distance of $(x, y)$ to the axis $Oy$}$.

그런 다음 $d=\frac{\text{min}\{d_1,d_2\}}{2}$ 중심의 원반 $(x,y)$ 및 반경 $d$ 에 포함되어 있습니다 $A^C$.