스털링 번호 식별
허락하다 $s(n,j)$ 서명 된 첫 번째 종류의 Stirling 번호를 나타내고 $S(n,j)$두 번째 종류의 스털링 번호. 다음과 같은 (아마 사소한) 신원이 필요합니다.$\sum\limits_{j = 0}^n {s(n,j)S(m + j,k)} = 0$ ...에 대한 $k < n$ 과 $\sum\limits_{j = 0}^n {s(n,j)S(m + j,n)} = {n^m},$ 그러나 그것을 증명하는 방법을 보지 마십시오.
답변
다음 Spivey와 같은 정체성을 고려하십시오. $${m+j\brace k}=\sum _{\ell =1}^k\sum _{s=0}^m\binom{m}{s}\ell ^s{j\brace \ell}{m-s\brace k-\ell}.$$ 이것은 분할하여 안정화됩니다 $m$ 의 요소와 블록을 공유하는 개체의 개체 $j$ 개체 (이것은 $s$) 또는 공유하지 않는 항목.
$$(-1)^n\sum _{j=0}^n(-1)^j{n\brack j }\left (\sum _{\ell =1}^k\sum _{s=0}^m\binom{m}{s}\ell^s{j\brace \ell}{m-s\brace k-\ell}\right )=\sum _{\ell =1}^k\sum _{s=0}^m\binom{m}{s}\ell^s{m-s\brace k-\ell}(-1)^n\sum _{j=0}^n(-1)^j{n\brack j }{j\brace \ell},$$ 하지만이 마지막 합계는 $\delta _{n,\ell}$스털링 수 사이의 연결 계수의 정체성에 의해.
그래서 우리는$k<n$ 합계는 $0.$ 만약 $k=n$ 살아남는 유일한 용어는 $m=s,k=\ell=n,$ 당신에게주는 $n^m.$
우리는 평가하려고합니다. $k\gt n+m$) :
$$\sum_{j=0}^n (-1)^{n+j} {n\brack j} {m+j\brace k}$$
어디 $k\le n.$ 표준 EGF를 사용하면
$$n! [z^n] \sum_{j=0}^n (-1)^{n+j} \frac{1}{j!} \left(\log\frac{1}{1-z}\right)^j (m+j)! [w^{m+j}] \frac{(\exp(w)-1)^k}{k!} \\ = (-1)^n n! m! [z^n] \sum_{j=0}^n (-1)^{j} {m+j\choose j} \left(\log\frac{1}{1-z}\right)^j \\ \times \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\gamma} \frac{1}{w^{m+j+1}} \frac{(\exp(w)-1)^k}{k!} \; dw \\ = (-1)^n n! m! [z^n] \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\gamma} \frac{1}{w^{m+1}} \frac{(\exp(w)-1)^k}{k!} \\ \times \sum_{j=0}^n (-1)^{j} {m+j\choose j} \left(\log\frac{1}{1-z}\right)^j \frac{1}{w^j} \; dw.$$
지금 $\left(\log \frac{1}{1-z}\right)^j = z^j+\cdots$ 그래서 계수 추출기 $[z^n]$ 합계의 상한을 적용합니다.
$$(-1)^n n! m! [z^n] \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\gamma} \frac{1}{w^{m+1}} \frac{(\exp(w)-1)^k}{k!} \\ \times \sum_{j\ge 0} (-1)^{j} {m+j\choose j} \left(\log\frac{1}{1-z}\right)^j \frac{1}{w^j} \; dw \\ = (-1)^n n! m! \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+1}} \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\gamma} \frac{1}{w^{m+1}} \frac{(\exp(w)-1)^k}{k!} \\ \times \sum_{j\ge 0} (-1)^{j} {m+j\choose j} \left(\log\frac{1}{1-z}\right)^j \frac{1}{w^j} \; dw \; dz \\ = (-1)^n n! m! \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+1}} \\ \times \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\gamma} \frac{1}{w^{m+1}} \frac{(\exp(w)-1)^k}{k!} \frac{1}{(1+\frac{1}{w}\log\frac{1}{1-z})^{m+1}} \; dw \; dz \\ = (-1)^n n! m! \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+1}} \\ \times \frac{1}{2\pi i} \int_{|w|=\gamma} \frac{(\exp(w)-1)^k}{k!} \frac{1}{(w+\log\frac{1}{1-z})^{m+1}} \; dw \; dz.$$
이제 기하학적 시리즈에 대해 $j$ 수렴하려면 우리는 $|\log\frac{1}{1-z}| \lt |w|.$ 참고로 $\log \frac{1}{1-z} = z + \cdots$ 이미지 $|z|=\epsilon$ 원점, 반경 원을 한 바퀴 돌립니다. $\epsilon$추가 낮은 주문 변동. 따라서 우리는$\epsilon$ 이 의사 원이 완전히 포함되도록 축소 $|w|=\gamma.$ 이 선택으로 극은 $-\log\frac{1}{1-z}$ 윤곽선 안에 있습니다. $w.$ 따라서 우리는
$$\frac{1}{k! \times m!} \left(\sum_{q=0}^k {k\choose q} (-1)^{k-q} \exp(qw)\right)^{(m)} = \frac{1}{k! \times m!} \sum_{q=0}^k {k\choose q} (-1)^{k-q} q^m \exp(qw).$$
적분 평가 $w$ 우리는 찾는다
$$(-1)^n \frac{n!}{k!} \frac{1}{2\pi i} \int_{|z|=\epsilon} \frac{1}{z^{n+1}} \sum_{q=0}^k {k\choose q} (-1)^{k-q} q^m (1-z)^q \; dz$$
그것은
$$\bbox[5px,border:2px solid #00A000]{ \frac{n!}{k!} \sum_{q=0}^k {k\choose q} {q\choose n} (-1)^{k-q} q^m.}$$
이제 언제 $k\lt n$ 우리는 ${q\choose n}= 0$따라서 전체 금액이 청구 된대로 사라집니다. 우리는$k=n$ 즉
$$\frac{n!}{n!} {n\choose n} {n\choose n} (-1)^{n-n} n^m = n^m$$
또한 주장 된대로. 이것으로 주장을 마칩니다.