소그룹 발표

Question

허락하다 $G$ 발표가있는 그룹이되다 $$G = \langle \sigma_1 ,\sigma _2 , \sigma _3\, |\, \sigma _1^2=\sigma _2^2=\sigma _3^2=(\sigma _1\sigma _2)^p =(\sigma _2\sigma _3)^q =(\sigma _3\sigma _1)^r =1\rangle .$$ 하위 그룹을위한 프레젠테이션을 갖고 싶습니다. $H$ 요소에 의해 생성 $\tau _1=\sigma _1\sigma _2,\, \tau _2=\sigma _2\sigma _3,\ \tau _3=\sigma _3\sigma _1$.

프레젠테이션을 추측하기에 충분합니까? $$ H=\langle \tau _1,\tau _2 ,\tau _3\, |\, \tau _1^p=\tau _2^q=\tau _3^r=\tau _1\tau _2\tau _3 =1 \rangle$$ 그리고 발표의 관계가 $G$ 추측되는 것을 분명히 암시 $H$ 그리고 그 관계 $H$ 표현에 관계를 암시 $G$.

Answer 1

아니오, "숨겨진"관계가있을 수 있으므로 이것으로는 충분하지 않습니다. 귀하의 예에서$H$ 실제로 주어진 프리젠 테이션을 가지고 있으며 아마도 그룹의 속성을 사용하여 "손으로"이것을 보여줄 수 있습니다. $G$, 그러나 "명백하게"사실이 아닙니다.

또는 Reidemeister-Schreier 방법을 사용할 수 있습니다. 이것은 그룹의 주어진 하위 그룹의 프리젠 테이션을 찾는 프로세스이며 여기에서 잘 작동합니다.$H$ 유한 인덱스가 있습니다 $G$. 방법에는 두 가지 접근 방식이 있습니다. Magnus, Karrass 및 Solitar 의 책 조합 그룹 이론 의 섹션 2.3 또는 동일한 이름의 Lyndon 및 Schupp의 책 II.4 섹션에서 다루는 고전적인 조합 / 대수 버전 과 프리젠 테이션 콤플렉스의 덮개를 사용하는 토폴로지 버전 ( 여기 참조 ). 개인적으로 나는 대수적 버전의 "시각화"로보기 때문에 토폴로지 버전을 선호합니다.

이 프로세스는 컴퓨터에서도 수행 할 수 있습니다 ( 여기 참조 ).$p,q,r$ 수정됩니다.