특정 값에 대한 데이터베이스가 있습니까? $j$-불변?
모든 알려진 특정 값이있는 데이터베이스가 있습니까? $j$-불변?
답변
"알려졌다"는 것은 무엇을 의미합니까? 어떠한 것도$\tau\in\mathbb C$ 와 $\text{Im}(\tau)>0$, 하나는 계산할 수 있습니다 $j(\tau)$컴퓨터가 허용하는만큼의 정밀도로 말이죠.하지만 아마도 그것은 당신이 의미하는 바가 아닐 것입니다. 일반적으로$\tau$ 대수적이고 $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$, 다음 $j(\tau)$ 초월 적이다 $\mathbb Q$이므로 값을 "아는 것"이 무엇인지 설명해야합니다. 언제$\tau$ 2 차 이상이다 $\mathbb Q$, 연관된 ellitpic 곡선에는 CM이 있으며 $j(\tau)$ Hilbert 클래스 필드를 생성합니다. $\mathbb Q(\tau)$. 이 경우 원칙적으로 필드를 결정한 다음$j(\tau)$그 분야의 기초 측면에서. 이게 네가 말하는거야? 만약 그렇다면, 나는 수년에 걸쳐 많은 예제가 만들어 졌을 것이라고 확신하지만, 그들이 컴파일 된 곳을 알지 못합니다. 아마도 그들은 작은 클래스 수의 모든 가상 2 차 필드에 대해 수행되었습니다. 에 대한 샘플 계산이 있습니다.$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$내에서 산술 타원의 곡선에서 고급 항목 이 있음을 표시의 책 (예 II.6.2.2)$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ (필드 $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ 클래스 번호 2이고 Hilbert 클래스 필드는 $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$.)
CM을 사용하는 타원 곡선의 j- 불변에 대한 명시 적 표현식을 포함하는 모든 (유한) 데이터베이스는 등인 성 타원 곡선의 j- 불변을 추가하여 확장 할 수 있습니다. 타원 곡선이 주어지면$E$ Weierstrass 형태와 유한 부분 군 $F$그 중, Velu의 고전 논문 은 다음과 같은 명시 적 방정식을 제공합니다.$E':=E/F$ 및 동위 원소 $E\rightarrow E'$. 이제 우리가$\Bbb{C}$ 그리고 우리는 $E$ 동형이다 $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$, 따라서 특별한 가치에 대한 지식 $j(\tau)$. 그만큼$j$-불변 $E'$, 방정식을 사용하여 명시 적으로 계산할 수 있으며 다른 특수 값을 생성합니다. $j(\tau')$ 모듈의 $j$-기능 $\tau'$ 기간입니다 $E'$. 또는 목표 곡선에서 시작하여 위로 올라갈 수 있습니다.$j$-그 위에 타원 곡선의 불변. 이를 위해 르장 드르 양식을 가정합니다.$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ CM 타원 곡선의 경우 $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ 제공됩니다 ($\lambda$대수). 즉, 우리가$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$우리 데이터베이스에서. 동위 원소 고려$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$. 가능한 르장 드르 양식을 분석하여$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$, 하나는 보여줄 수 있습니다 $j$-불변 $j(2\tau)$ 속하다 $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ 그래서 세 가지 후보가 있습니다. $j(2\tau)$, 각각은 명시 적 대수 형식입니다. 근사치$j(2\tau)$ 수치 적으로 $q$-확장, 올바른 표현을 선택할 수 있습니다. $j(2\tau)$그들 중 데이터베이스에 추가하십시오. 이 컴퓨팅 접근 방식의 세부 사항$j(2\tau)$ 측면에서 $j(\tau)$이 문서 에서 찾을 수 있습니다 . 유사한 방법이 존재합니다.$j(3\tau)$. 예를 들어$j(i)=1728$, 두 양의 정수 $m$ 과 $n$, 정확한 표현 $j\left(2^m3^ni\right)$얻어 질 수있는. 예를 들어$j(2i)=66^3$ 과 $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$.