유한 필드에 대한 질문

Question

저는 브라질 출신이라 제 영어 실력이 최고가 아니에요. 뭔가 잘못되면 죄송 해요. 나는 사용하고있다$|F_q|$ 필드의 추기경을 위해.

나는 가지고있다 $\mathbb{F}_q$ 유한 한 특성 장 $p$ 추기경 $q$, $p$ 소수이고 $q$ 의 힘이다 $p$.

아주 긴 운동입니다. 저는 이미 $p=2$ $\mathbb{F}_q=\mathbb{F}_q^2$ 그리고 $p\neq2$ 나는 그것을 보여준다 $|\mathbb{F}_q^{*^2}|=\frac{q-1}{2}$ 과 $|\mathbb{F}_q^2|=\frac{q+1}{2}$.

그런 다음 속성을 보여주었습니다.

$x\in \mathbb{F}_q^* \Longrightarrow x^{\frac{q-1}{2}}=\pm 1;$

$x \in \mathbb{F}_q^{*^2} \Longleftrightarrow x^{\frac{q-1}{2}}= 1;$

$-1\in \mathbb{F}_q^{*^2} \Longleftrightarrow q-1\equiv 0$ (모드 $4$).

이제 이것을 표시하는 데 문제가 있습니다.

만약 $-1$ 과 $x$ 제곱이 아니다 $\mathbb{F}_q^*$, 다음 $-x$ 제곱 $\mathbb{F}_q$.

또한 현장에서 보여주기가 어렵습니다. $\mathbb{F}_p$, 한다고 가정 $$A=\{ -x^2; x\in \mathbb{F}_p \} \quad \text{and} \quad B=\{ 1+y^2;y \in \mathbb{F}_p \}$$

나는 그것을 보여야한다 $|A|=|B|=\frac{p+1}{2}$, 존재 추론 $x$ 과 $y$ 에 $\mathbb{F}_p$ 그런 $$1+x^2+y^2=0$$ 그리고 존재 $a$ 과 $b$ $$p|1+a^2+b^2.$$

Answer 1

이미 증명 한 것으로 $(-1)^{(q-1)/2}= -1$. 따라서$(q-1)/2$이상하다. 또한$x^{(q-1)/2}=-1$. 하지만$(-x)^{(q-1)/2}=(-1)^{(q-1)/2}(x)^{(q-1)/2}=1$, 그래서 다시 당신이 증명 한 것에 의해, $-x$사각형입니다. QED

나머지 질문에 대한 증거-모든 홀수 소수 전력에 대해 $q=p^n$. 곱셈 그룹$\Bbb{F}_q^*$ 질서의 아벨 리안 $q-1$. 지도$x\mapsto x^2$동형입니다. 커널은$\{x\mid x^2=1\}=\{-1,1\}$ 주문 2의 $1\ne -1$ 이후 $q$ 홀수이므로 이미지 (0이 아닌 모든 정사각형 집합)의 크기가 $(q-1)/2$. 그런 다음 세트$S$ 모든 (0 포함) 제곱의 $\Bbb{F}_q$ 크기이다 $(q-1)/2+1=(q+1)/2$. 그런 다음 세트$A$ 그리고 세트 $B$ 같은 크기 : 세트 $A$ 에서 얻은 $S$ 추가하여 $-$ 각 요소, 집합에 서명 $B$ 다음을 추가하여 얻습니다. $1$ 의 각 요소에 $S$. 만약$A$ 과 $B$ 그때 교차하지 않았다 $A\cup B$ 포함 할 것이다 $q+1$ 집단 $>|\Bbb{F}_q|$. 그 후$A\cap B$비어 있지 않습니다. 따라서 존재$x, y$ 그런 $-x^2=1+y^2$ 또는 $1+x^2+y^2=0$ 즉 $1+x^2+y^2\equiv 0\mod p$.