Statystyka - twierdzenie Czebyszewa

Ułamek dowolnego zbioru liczb leżących w obrębie k odchyleń standardowych tych liczb średniej z tych liczb wynosi co najmniej

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2}} $

Gdzie -

$ {k = \ frac {the \ w \ numer} {the \ standard \ deviation}} $

a $ {k} $ musi być większe niż 1

Przykład

Problem Statement:

Użyj twierdzenia Czebyszewa, aby dowiedzieć się, jaki procent wartości będzie mieścił się między 123 a 179 dla zbioru danych ze średnią 151 i odchyleniem standardowym 14.

Solution:

Odejmujemy 151-123 i otrzymujemy 28, co oznacza, że 123 to 28 jednostek poniżej średniej.
Odejmujemy 179-151 i otrzymujemy 28, co oznacza, że 151 to 28 jednostek powyżej średniej.
Te dwa razem mówią nam, że wartości między 123 a 179 mieszczą się w granicach 28 jednostek średniej. Dlatego „liczba w ramach” wynosi 28.
Tak więc znajdujemy liczbę odchyleń standardowych, k, których wartość „w liczbie” 28 wynosi przez podzielenie jej przez odchylenie standardowe:

$ {k = \ frac {the \ within \ number} {the \ standard \ deviation} = \ frac {28} {14} = 2} $

Więc teraz wiemy, że wszystkie wartości między 123 a 179 mieszczą się w granicach 28 jednostek średniej, co jest tym samym, co w ramach k = 2 odchylenia standardowe średniej. Teraz, ponieważ k> 1, możemy użyć wzoru Czebyszewa, aby znaleźć ułamek danych, które mieszczą się w zakresie k = 2 odchylenia standardowego średniej. Podstawiając k = 2 otrzymujemy:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

Tak więc $ {\ frac {3} {4}} $ danych mieści się w przedziale od 123 do 179. A ponieważ $ {\ frac {3} {4} = 75} $% oznacza to, że 75% wartości danych znajduje się między 123 i 179.