Statystyka - współczynnik korelacji

Współczynnik korelacji

Współczynnik korelacji jest statystyczną miarą stopnia, w jakim zmiany wartości jednej zmiennej przewidują zmianę wartości innej. W przypadku dodatnio skorelowanych zmiennych wartość rośnie lub maleje w tandemie. W przypadku zmiennych ujemnie skorelowanych wartość jednej rośnie, gdy maleje wartość drugiej.

Współczynniki korelacji są wyrażone jako wartości od +1 do -1.

Współczynnik +1 wskazuje na doskonałą korelację dodatnią: zmiana wartości jednej zmiennej będzie przewidywać zmianę w tym samym kierunku w drugiej zmiennej.

Współczynnik -1 wskazuje na całkowitą wartość ujemną: zmiana wartości jednej zmiennej przewiduje zmianę w przeciwnym kierunku w drugiej zmiennej. Mniejsze stopnie korelacji są wyrażane jako niezerowe miejsca po przecinku. Współczynnik zerowy wskazuje na brak dostrzegalnej zależności między fluktuacjami zmiennych.

Formuła

$ {r = \ frac {N \ sum xy - (\ sum x) (\ sum y)} {\ sqrt {[N \ sum x ^ 2 - (\ sum x) ^ 2] [N \ sum y ^ 2 - (\ sum y) ^ 2]}}} $

Gdzie -

$ {N} $ = liczba par wyników
$ {\ sum xy} $ = Suma iloczynów sparowanych wyników.
$ {\ sum x} $ = Suma x wyników.
$ {\ sum y} $ = Suma y wyników.
$ {\ sum x ^ 2} $ = Suma kwadratów x wyników.
$ {\ sum y ^ 2} $ = Suma kwadratów y wyników.

Przykład

Problem Statement:

Obliczyć współczynnik korelacji z następujących elementów:

X	Y
1	2
3	5
4	5
4	8

Solution:

$ {\ sum xy = (1) (2) + (3) (5) + (4) (5) + (4) (8) = 69 \\ [7pt] \ sum x = 1 + 3 + 4 + 4 = 12 \\ [7 pkt] \ sum y = 2 + 5 + 5 + 8 = 20 \\ [7 pkt] \ sum x ^ 2 = 1 ^ 2 + 3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2 = 42 \ \ [7pt] \ sum y ^ 2 = 2 ^ 2 + 5 ^ 2 + 5 ^ 2 + 8 ^ 2 = 118 \\ [7pt] r = \ frac {69 - \ frac {(12) (20)} { 4}} {\ sqrt {(42 - \ frac {(12) ^ 2} {4}) (118- \ frac {(20) ^ 2} {4}}} \\ [7pt] = .866} $