Statystyka - twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa

Na niezależne wydarzenia

Twierdzenie stwierdza, że prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest iloczynem ich indywidualnych prawdopodobieństw.

${P(A\ and\ B) = P(A) \times P(B) \\[7pt] P (AB) = P(A) \times P(B)}$

Twierdzenie można rozszerzyć na trzy lub więcej niezależnych zdarzeń również jako

${P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C) P (A,B\ and\ C) = P(A) \times P(B) \times P(C) }$

Przykład

Problem Statement:

Uczelnia musi wyznaczyć wykładowcę, który musi mieć tytuł licencjata, MBA i doktorat, z prawdopodobieństwem ${\frac{1}{20}}$, ${\frac{1}{25}}$, i ${\frac{1}{40}}$odpowiednio. Znajdź prawdopodobieństwo, że taka osoba zostanie powołana przez uczelnię.

Solution:

Prawdopodobieństwo, że dana osoba zostanie B.Com.P (A) =${\frac{1}{20}}$

Prawdopodobieństwo posiadania przez osobę dyplomu MBA P (B) = ${\frac{1}{25}}$

Prawdopodobieństwo posiadania doktoratu DP (C) =${\frac{1}{40}}$

Używanie twierdzenia o mnożeniu dla zdarzeń niezależnych

${ P (A,B\ and\ C) = P(A) \times P(B) \times P(C) \\[7pt] = \frac{1}{20} \times \frac{1}{25} \times \frac{1}{40} \\[7pt] = .05 \times .04 \times .025 \\[7pt] = .00005 }$

Dla zdarzeń zależnych (prawdopodobieństwo warunkowe)

Jak zdefiniowano wcześniej, zdarzeniami zależnymi są zdarzenia, w których wystąpienie lub brak jednego zdarzenia wpływa na wynik następnego zdarzenia. W przypadku takich zdarzeń nie ma zastosowania podane wcześniej twierdzenie o mnożeniu. Prawdopodobieństwo związane z takimi zdarzeniami nazywane jest prawdopodobieństwem warunkowym i jest określone przez

P (A / B) = ${\frac{P(AB)}{P(B)}}$ lub ${\frac{P(A \cap B)}{P(B)}}$

Odczytaj P (A / B) jako prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A, gdy zdarzenie B już nastąpiło.

Podobnie warunkowe prawdopodobieństwo B danego A wynosi

P (B / A) = ${\frac{P(AB)}{P(A)}}$ lub ${\frac{P(A \cap B)}{P(A)}}$

Przykład

Problem Statement:

Moneta jest rzucana 2 razy. Rzut skutkował jedną głową i jednym ogonem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy rzut zakończył się ogonem?

Solution:

Przykładowa przestrzeń dla monety rzuconej dwa razy jest podana jako S = {HH, HT, TH, TT}

Niech Wydarzenie A będzie pierwszym rzutem skutkującym ogonem.

Wydarzeniem B było to, że wystąpił jeden ogon i jedna głowa.

${ P(A) = \frac{P(TH,TT)}{P(HH,HT,TH,TT)} = \frac{2}{4} =\frac {1}{2} \\[7pt] P(A \cap B) = \frac{P(TH)}{P(HH,HT,TH,TT)} =\frac{1}{4} \\[7pt] So\ P (A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \\[7pt] = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} \\[7pt] = \frac{1}{2} = 0.5 }$