Statystyka - rozkład wielomianowy
Eksperyment wielomianowy jest eksperymentem statystycznym i składa się z n powtórzonych prób. Każde badanie ma dyskretną liczbę możliwych wyników. W każdej próbie prawdopodobieństwo wystąpienia określonego wyniku jest stałe.
Formuła
$ {P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }} $
Gdzie -
$ {n} $ = liczba wydarzeń
$ {n_1} $ = liczba wyników, zdarzenie 1
{n_2} USD = liczba wyników, zdarzenie 2
$ {n_x} $ = liczba wyników, zdarzenie x
{P_1} zł = prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia 1
$ {P_2} $ = prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia 2
$ {P_x} $ = prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia x
Przykład
Problem Statement:
Trzech graczy w karty rozgrywa serię meczów. Prawdopodobieństwo, że gracz A wygra jakąkolwiek grę wynosi 20%, prawdopodobieństwo, że gracz B wygra wynosi 30%, a prawdopodobieństwo wygrania gracza C wynosi 50%. Jeśli rozegrają 6 gier, jakie jest prawdopodobieństwo, że gracz A wygra 1 grę, gracz B wygra 2 gry, a gracz C wygra 3?
Solution:
Dany:
{n} $ = 12 $ (łącznie 6 gier)
$ {n_1} $ = 1 (wygrywa gracz A)
$ {n_2} $ = 2 (wygrywa gracz B)
$ {n_3} $ = 3 (wygrywa gracz C)
{P_1} USD = 0,20 USD (prawdopodobieństwo wygrania gracza A)
{P_1} USD = 0,30 USD (prawdopodobieństwo wygrania gracza B)
{P_1} USD = 0,50 USD (prawdopodobieństwo wygrania gracza C)
Wkładając wartości do wzoru otrzymujemy:
$ {P_r = \ frac {n!} {(N_1!) (N_2!) ... (n_x!)} {P_1} ^ {n_1} {P_2} ^ {n_2} ... {P_x} ^ {n_x }, \\ [7pt] \ P_r (A = 1, B = 2, C = 3) = \ frac {6!} {1! 2! 3!} (0,2 ^ 1) (0,3 ^ 2) (0,5 ^ 3), \\ [7pt] \ = 0,135} $