A função contínua com propriedade de valor médio de 4 pontos é harmônica

Question

Suponha uma função contínua $u : \mathbb{C} → \mathbb{R}$ tem a seguinte propriedade: $u(x + iy) = \frac{1}{4}[(u(x + a + iy) + u(x − a + iy) + u(x + i(y + a)) + u(x + i(y − a)))]$ para todos $a\in\mathbb{C}$. Isso implica que u é harmônico?

Estou inclinado a acreditar que sim, mas quando faço o cálculo verdadeiro de uma propriedade de valor médio para qualquer $z_0\in\mathbb{C}$, Eu recebo: $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(re^{i\theta}+z_0)d\theta=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^3\int_{\frac{k\pi}{4}}^{\frac{(k+1)\pi}{4}} u(re^{i\theta}+z_0)d\theta=\frac{1}{2\pi}\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}u(z_0)d\theta=\frac{u(z_0)}{2}\neq u(z_0)$.

Onde eu estou errando?

Answer 1

A ideia é boa, mas você tem que dividir o caminho de integração em quatro segmentos de ângulo $\pi/2$, não $\pi/4$. Também o fator$1/4$ na terceira expressão deve ser $4$: $$ \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(re^{i\theta}+z_0)d\theta=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=0}^3\int_{\frac{k\pi}{2}}^{\frac{(k+1)\pi}{2}} u(re^{i\theta}+z_0)d\theta=\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}4 u(z_0)d\theta= u(z_0) $$