a lei da probabilidade total com variáveis ​​extras

Question

Suponha $X$ e $Y$são duas variáveis ​​aleatórias discretas. A lei da probabilidade total afirma que:$$ p(x) = \sum\limits_y {p(x,y) = } \sum\limits_y {p(x|y)p(y)} $$

Agora, suponha que temos outra variável aleatória $Z$ e queremos fazer marginalização em ambos $Y, Z$. Minha pergunta é: qual seria a afirmação da lei da probabilidade total quando temos mais variáveis ​​extras?

Answer 1

A próxima iteração da regra seria:

$$p(x) = \sum_y \sum_z p(x,y,z) = \sum_y \sum_z p(x|y,z) p(y|z) p(z).$$