A uniracionalidade é decidível?
Quando a resposta ao problema de Lüroth é afirmativa, o gênero (para curvas) ou os critérios de Castelnuovo (para superfícies separavelmente uniracionais) fornecem invariantes computáveis que decidem se uma dada variedade é uniracional.
Estou interessado nos casos mais simples onde exemplos não racionais são conhecidos: a saber, superfícies sobre $\overline{\mathbb{F}_p}$ e 3 dobras $\mathbb{C}$.
É conhecido se existe um algoritmo para determinar se uma determinada variedade do tipo acima é uniracional?
Uma esperança ingênua seria produzir um limite no grau de um mapa racional $\mathbb{P}^n \to X$ no entanto, isso é claramente impossível, uma vez que mapas racionais $\mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n$ têm grau ilimitado.
A próxima melhor coisa seria colocar um limite superior computável no grau mínimo de tal mapa racional. Esses limites são conhecidos para os dois casos que delineei acima? Esses limites são suficientes, em princípio, para fornecer um algoritmo?
Respostas
Esse é um problema amplamente estudado e acho que com a tecnologia atual parece improvável que tenha uma resposta. Deixe-me manter a característica$0$Pela simplicidade; a história fica muito mais rica em características positivas (mesmo se você adicionar o adjetivo 'separavelmente' em todos os lugares).
Variedades uniracionais são racionalmente conectadas, o que por sua vez implica $H^0(X,(\Omega_X^1)^{\otimes m}) = 0$ para todos $m > 0$. Mumford conjecturou que este desaparecimento implica inversamente que$X$está racionalmente conectado, mas acho que pouco se sabe sobre essa conjectura. Pelo menos se você acredita em Mumford (e talvez com um limite no qual$m$ você tem que tentar, análogo ao critério de Castelnuovo), então a conexão racional deveria ser algo decidível.
No entanto, um problema em aberto bem conhecido é se toda variedade racionalmente conectada é uniracional (acho que as pessoas esperam que isso seja falso - eu certamente espero). O motivo pelo qual não podemos responder é que não temos nenhuma obstrução que possa distinguir entre os dois. Portanto, acho altamente improvável que possamos fornecer uma caracterização que decida se uma variedade é uniracional.
Não tenho certeza de qual é o status da uniracionalidade nas famílias, mas a racionalidade (estável) não é uma deformação invariante das variedades projetivas suaves de Hassett – Pirutka – Tschinkel . Portanto, invariantes discretos [isto é, localmente constantes nas famílias], como o desaparecimento da cohomologia, não são suficientes para detectar a racionalidade (estável), e muito provavelmente o mesmo é verdadeiro para a uniracionalidade.
Quanto às superfícies sobre $\bar{\mathbf F}_p$, algumas superfícies K3 são uniracionais, mas a maioria não, portanto, mais uma vez, não é uma invariante de deformação. Shioda conjecturou que se$X$ é uma superfície sobre um campo algébricamente fechado $k$ de característica $p > 0$ com $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) = 0$, então $X$ é uniracional se e somente se $H^2_{\operatorname{cris}}(X/K)$ é supersingular, ou seja, todas as encostas de Frobenius são $1$. (Esta é claramente uma condição necessária, uma vez que$H^2_{\operatorname{cris}}(X/K) \hookrightarrow H^2_{\operatorname{cris}}(Y/K)$ é injetivo e preserva as ações de Frobenius se $Y \twoheadrightarrow X$é um mapa dominante de variedades projetivas suaves; veja, por exemplo, a Prop. 1.2.4 no artigo de Kleiman, Algebraic cycle and the Weil conjecutres in Dix Exposés .)
Mas isso não diz nada sobre o que acontece se $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) \neq 0$, embora tenha que ser finito e sua ordem indivisível por $p$(veja, por exemplo, esta nota de Chambert-Loir ). Portanto, primeiro você deve calcular a cobertura universal e, em seguida, calcular as inclinações - não tenho certeza se existe uma maneira mais direta de fazer isso. Assumindo a conjectura de Shioda, isso fornece um critério.