Antiderivada de pouco

Question

Esta pergunta já foi feita, mas nenhuma das respostas que encontrei era correta / completa o suficiente.

Para $x$ perto de zero e $n>1$, é a antiderivada de $o(x^n)$ igual a $o( x^{n+1} )$ e como podemos provar isso?

Pouco $o$ é definido como:

$f$ é $o( g )$ perto de zero se e somente se houver uma função $u$ que tende a zero quando $x$ se aproxima de zero e satisfaz $f = u g,$ ou para qualquer $\epsilon >0$, existe algum $a>0$ de tal modo que $∣ f(x)∣ \leq \epsilon |g(x)|$ sempre que $0< |x| <a$

Usei as duas definições mas não consegui chegar a lugar nenhum, a integração por partes também não ajudou, sei que não é verdade para a derivada que: a derivada de $o(x^n)$ igual a $o( x^{n-1} )$ mas não tenho certeza sobre integração.

Answer 1

Sim, não há problema com isso, o ponto-chave é que a integração preserva as desigualdades (o que é muito falso para a diferenciação); isto é, se$f(x) \le g(x)$ então $\int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx$.

Mais formalmente, se $f(x) = o(|x|^n)$, então, por definição, temos isso para qualquer $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que se $0 < |x| < \delta$ então $|f(x)| < \epsilon |x^n|$. Definir

$$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt.$$

Então, para qualquer $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que se $0 < |x| < \delta$ então $|f(x)| < \epsilon (n+1) |x^n|$, daí que

$$|F(x)| = \left| \int_0^x f(t) \, dt \right| \le \int_0^x |f(t)| \, dt \le \int_0^x \varepsilon (n+1) |t|^n \, dt = \varepsilon |x|^{n+1}.$$

então $F(x) = o(|x|^{n+1})$. Nós realmente não precisamos inserir o$n+1$ prefator, mas é bom fazer o limite final chegar exatamente ao que precisa ser.