Cálculo variacional funcional não linear

Question

Suponha que temos um funcional não linear da seguinte forma, $$ J[f]=\int_a^b f(x)f(c-x)\,\mathrm{d}x\int_a^b f(y)f(d-y)\,\mathrm{d}y. $$ Onde $a,b,c,d$ são constantes.

Pergunta . Como usar o cálculo de variação para encontrar o que$f$ faz $J$ estacionário?

Eu tentei o de costume $$ \frac{d}{d\epsilon}J[f+\epsilon\eta]|_{\epsilon=0}=0~~~\forall\eta(x)$$

Mas como tratar o fato de a função ser avaliada em diferentes pontos?

Ou seja, nós temos $$\eta(d-x)$$ como um fator, então podemos usar o resultado $$ \int_a^b g(x)\eta(d-x)\,\mathrm{d}x=0~~~~\forall\eta~~~\implies g(x)=0\;? $$ Na verdade, estou procurando as equações de Euler-Lagrange correspondentes a esta $J$. É possível obter um PDE usual e não uma equação funcional integral?

Answer 1

Responderei à sua pergunta na ordem inversa, pois assim todo o problema ficará esclarecido.

Na verdade, estou procurando as equações de Euler-Lagrange correspondentes a esta $J$. É possível obter um PDE usual e não uma equação funcional integral?

Não. As equações de Euler-Lagrange resultam de igualar a zero apenas a derivada funcional de funcionais particulares , ou seja, funcionais integrais na forma padrão$$ J[f] = \begin{cases} \displaystyle\int\limits_a^b F\left(x, f,\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d} x}\right)\mathrm{d} x &\text{(in the one dimensional case)}\\ \\ \displaystyle\int\limits_{\Omega} F\left(x, f,{\nabla f}\right)\mathrm{d} x &\text{(in the multidimensional case)} \end{cases} $$ Seu funcional não é desse tipo, apesar de ser derivável e ter uma derivada funcional linear (ver https://mathoverflow.net/questions/349057/question-about-functional-derivatives/349584#349584 para mais informações sobre a estrutura desses objetos), este último não é da classe Euler-Lagrange, como veremos a seguir.

Ou seja, nós temos $$\eta(d-x)$$ como um fator, então podemos usar o resultado $$ \int_a^b g(x)\eta(d-x)\,\mathrm{d}x=0\;\;\forall\eta\implies g(x)=0\;?\label{1}\tag{NC} $$

Não, uma vez que a validade da declaração \ eqref {1} depende do valor escolhido para a constante $d$, ou mais precisamente na estrutura do mapa $x\mapsto d-x$. Além disso, antes de começar a ver por que \ eqref {1} nem sempre é verdadeiro, devo salientar que a formulação do problema é falha em dois aspectos:

1. O espaço de variações admissíveis $\eta$deve ser um subespaço estritamente contido do espaço funcional onde o funcional é definido , caso contrário, \ eqref {2} é verdadeiro para todos$f$, e isso implica $J[f]$ é constante.
2. Precisamos assumir que a variação $\eta$ desaparece nos pontos finais do intervalo $[a,b]$, uma vez que é apenas desta forma a função de minimização $f$ satisfaz as condições de limite de que necessita (ver https://math.stackexchange.com/questions/2613861/derive-the-euler-lagrange-equation-for-a-functional-a-single-variable-with-highe/2623511#2623511 para mais detalhes sobre este ponto): e não há perda de generalidade se assumirmos que $\operatorname{supp}\eta\Subset [a,b]$, ie $\eta$ é escolhido como um https://en.wikipedia.org/wiki/Support_(mathematics)#Compact_support cujo suporte está estritamente contido em $[a,b]$, ie $\eta\in C^1([a,b])$

Disse que vemos isso, usando a escolha padrão para $\eta$ nós temos isso

1. E se $d\ge 2b$ ou $d\le 2a$ então o apoio de $\eta(d-x)$ não se cruza $[a,b]$ e $$ \eta(d-x)= 0\;\text{ on }[a,b]\implies \int\limits_a^b g(x)\eta(d-x)\mathrm{d} x \equiv 0\;\text{ independently of } g $$
2. E se $d=b+a$ então $x\mapsto d-x$ é um isomorfismo de $[a,b]$ em si, portanto, para cada $\eta\in C^1([a,b])$ existe $\eta^\ast\in C^1([a,b])$ de tal modo que $\eta(d-x)=\eta^\ast(x)$ e então \ eqref {1} é verdadeiro pelo comum https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_lemma_of_calculus_of_variations.
3. Em todos os outros casos, a intersecção entre o suporte da função deslocada $\eta(d-x)$ e $[a,b]$ é um intervalo não vazio estritamente contido em $[d,b]$ ou $[a,d]$. Isso implica que, se escolhermos qualquer$g$ cujo suporte está contido em $[a,d[$ ou $]d,b]$, na equação integral no lado esquerdo de \ eqref {1} é satisfeita, mas a implicação é falsa.

Portanto, o "análogo de convolução" \ eqref {1} do clássico lema de DuBois-Raymond não é verdadeiro.

Pergunta . Como usar o cálculo de variação para encontrar o que$f$ faz $J$estacionário?
Eu tentei o de costume$$ \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}J[f+\epsilon\eta]\right|_{\epsilon=0}=0\quad\forall\eta(x)\label{2}\tag{FD} $$ Mas como tratar o fato de a função ser avaliada em diferentes pontos?

Calcular a derivada funcional do funcional a ser minimizado e exigir que ele desapareça é a maneira padrão e correta de proceder : você fez isso corretamente. No entanto, vamos ver o que acontece: primeiro coloque$$ \begin{split} F_\alpha(\varepsilon) & =\int_a^b \big[f(x)+\varepsilon\eta(x)\big] \big[f(\alpha-x)+\varepsilon\eta(\alpha-x)\big]\,\mathrm{d}x\\ & = \int_a^b \big[f(x)f(\alpha-x) + \varepsilon \big(f(x)\eta(\alpha-x) + f(\alpha-x)\eta(x)\big)+\varepsilon^2\eta(x)\eta(\alpha-x)\big]\,\mathrm{d}x \end{split} $$ Então $$ \begin{split} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}F_\alpha[f+\epsilon\eta]\right|_{\epsilon=0}=\int_a^b \big(f(x)\eta(\alpha-x) + f(\alpha-x)\eta(x)\big)\,\mathrm{d}x \end{split} $$ e desde $J[f+\epsilon\eta]=F_c(\varepsilon)F_d(\varepsilon)$ nós temos isso $$ \begin{split} \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}J[f+\epsilon\eta]\right|_{\epsilon=0} & = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}F_c[f+\epsilon\eta]\right|_{\epsilon=0}F_d(0) + \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon}F_d[f+\epsilon\eta]\right|_{\epsilon=0} F_c(0)\\ & = \int_a^b f(y)f(d-y)\,\mathrm{d}y\int_a^b \big(f(x)\eta(c-x) + f(c-x)\eta(x)\big)\,\mathrm{d}x \\ & \quad + \int_a^b f(x)f(c-x)\,\mathrm{d}x\int_a^b \big(f(x)\eta(d-x) + f(d-x)\eta(x)\big)\,\mathrm{d}x \end{split} $$ Agora, a imposição de \ eqref {2} não leva a uma equação do tipo Euler-Lagrange, mas a um sistema infinito de equações integrais, semelhante ao sistema que define um https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_(mathematics). Meu conselho final é usar as técnicas deste ramo da matemática e tentar descobrir se você pode recuperar o procurado$f$ usando um dos vários teoremas na reconstrução de uma função a partir de seus momentos.

Answer 2

Primeiro, revise o que você está acostumado com a mecânica, $$ J[f]=\int \! dx ~ L(f(x),\partial_x f(x)), $$ extremizado por $$ 0=\int \! dx ~ \left (\frac{\delta L}{\delta f} \eta(x) + \frac{\delta L}{\delta \partial_x f} \partial_x \eta(x) \right )= \int \! dx ~ \left (\frac{\delta L}{\delta f} - \partial_x \frac{\delta L}{\delta \partial_x f} \right ) \eta(x) , $$a última etapa envolve uma integração por partes. Para variação arbitrária$\eta(x)$, isso exige as equações EL, desaparecendo de seu coeficiente.

Agora, além das derivadas, seu funcional pode envolver operadores de deslocamento de Lagrange pseudo diferenciais, $$ e^{c\partial_x} f(x) = f(x+c), $$ (pense neles como expansões formais do exponencial, por intuição), operadores de reflexão, $$ e^{ i\pi ~ x \partial_x} f(x) = e^{i\pi~ \partial_{\ln x}} f(x) = f(-x), $$ e suas combinações, $$ e^{-x\partial_x} e^{ i\pi ~ x \partial_x} f(x)= f(c-x), $$ etc. Estou apenas dando a você a versão básica da física e permitindo que os profissionais deste site aprimorem o domínio e as questões de definição adequadas.

Portanto, como um exemplo simples (não tenho certeza se posso analisar sua própria expressão: você está usando x duas vezes como uma variável fictícia de integração?), Para$$ J[f]=\int \! dx ~ f(x) f(c-x)^2, $$As equações EL seguem de várias integrações por partes, assumindo que os termos da superfície desapareçam (caso contrário, você precisa considerá-los, complicando a imagem),$$ 0=\int \! dx ~ (\eta(x) f(c-x)^2+ 2f(x) f(c-x)\eta(c-x))\\ = \int \! dx ~ (\eta(x) f(c-x)+ 2f(x)f(c-x) e^{-c\partial_x} e\eta(-x)) \\ = \int \! dx ~ \Bigl (\eta(x) f(c-x)+2 f(x+c)f(x) \eta(-x)\Bigr )\\ =\int \! dx ~ \Bigl ( f(c-x)+ 2f(c-x)f(-x) \Bigr )\eta(x). $$O desaparecimento do parêntese na última linha compreende as equações EL. Mas note que você ignorou todos os termos de superfície, por exemplo, se os limites estavam no infinito e suas funções de argumento foram localizadas. Caso contrário, observe que, ao alterar as variáveis ​​fictícias, caso você tenha optado por fazer isso, em vez dos pseudo operadores diferenciais, os limites teriam mudado!