Continuidade uniforme VS Continuidade.

Question

A função $f,g : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ sacia o $(1)$ E $(2)$. mostrar$\exists \lim \limits_{x \to 0^+} f(x)$

$(1)$ $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x)$

$(2)$ $\forall a,b \in (0,\infty) $, $\vert f(b) - f(a) \vert \leq \vert g(b) - g(a)\vert $

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Aqui está minha tentativa.

Dizer $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x) = L$. Então$\exists \delta>0$ $s.t.$ $0 <x <\delta \Rightarrow \vert g(x) -L \vert < {\epsilon \over 2}$

Considerar $0 <x,y <\delta $ Então, $\vert g(x)-g(y)\vert \leq \vert g(x)-L \vert + \vert g(y)-L \vert < \epsilon$

Daí por $(2)$, $\vert f(x) - f(y) \vert \leq \vert g(x) - g(y)\vert < \epsilon $.

Concluí o $f$ é uniformemente contínuo em $(0, \delta)$. Portanto,$\exists \lim \limits_{x \to 0^+} f(x)$

Mas, em meu grupo de estudo, meu colega apontou o que eu me enganei. Ele disse, "$\delta $ é depender do $\epsilon$. Portanto, esta não é a definição da continuidade uniformemente. "E ele sugeriu a definição da continuidade uniforme e continuidade (ou os limites). Ele afirmou" Quando o caso de continuidade uniforme,$\delta$ não depende do $\epsilon$. "com base no $(4)$

$(3)$ Definição da Continuidade em $(a,b)$ : " $\forall \epsilon > 0,\; { \forall x,y\in (a,b)} \exists \delta>0 \;\; : \lvert x - y\rvert< \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert <\epsilon$"

$(4)$ Definição da continuidade uniforme em $(a,b)$ : "$ \forall \epsilon > 0,\;{\exists \delta>0 \; \forall x,y\in (a,b)} \; : \lvert x - y\rvert< \delta \Rightarrow \lvert f(x)-f(y)\rvert <\epsilon$"

Ao contrário de seu pensamento, muitos exercícios no livro didático, primeiro caso relacionado com o $(3)$(ou a comprovação da existência de limites) Normalmente encontramos $\delta = \delta(x,\epsilon)$ dependendo das duas variáveis $x$ e $\epsilon$. (Quando o caso limite $0 < \vert x -y \vert < \delta $) Além disso, por outro lado, o caso relacionado com o$(4)$, Normalmente encontramos o $\delta =\delta(\epsilon)$ dependendo do $\epsilon$. Para esclarecer mais minha pergunta, deixe-me dar um exemplo simples.

$e.g.)$ mostrar $f(x) = x^2$ é uniformemente contínuo em $D = [0,2]$

Quando tomamos o $\delta= {\epsilon \over 4}$, Então, $\exists \delta= {\epsilon \over 4}$ $s.t.$ $\vert x-y \vert < \delta$ $\Rightarrow$ $\vert f (x) -f(y) \vert = \vert x-y \vert \vert x+y \vert < {\epsilon \over 4}$.

Então, na minha opinião, $\delta$ deve ser dependente do $\epsilon$considerando a definição da continuidade uniformemente. Em meu pensamento, não consigo entender totalmente a afirmação do meu colega e em que ponto eu estava errado.

Por favor me ajude a encontrar meu erro na minha solução. Além disso, sua afirmação está certa? E por que isso acontece?

Obrigado.

Answer 1

Você diz

Dizer $\exists \lim \limits_{x \to 0^+} g(x) = L$. Então$\exists \delta>0$ $s.t.$ $0 <x <\delta \Rightarrow \vert g(x) -L \vert < {\epsilon \over 2}$

Mas você não definiu como $\epsilon$é pego. Seu colega está certo. implicitamente, você selecionou$\epsilon$. Seria muito melhor afirmar isso explicitamente: para$\epsilon >0$...

Então, como seu colega mencionou, o $\delta$ definido acima depende do $\epsilon$. Portanto, no final, você não provou uma continuidade uniforme. Você acabou de provar isso por um$\epsilon$ que você seleciona, você tem um intervalo $(0,\delta_\epsilon)$ para o qual você tem $$\vert f(x) - f(y) \vert \leq \vert g(x) - g(y)\vert < \epsilon $$ para $x,y \in (0,\delta_\epsilon)$.

O problema é que $\epsilon$ diminui, $\delta_\epsilon$também pode diminuir. No final, as desigualdades só serão válidas para todos$\epsilon$ em um intervalo vazio ... que não tem interesse.

Answer 2

Você deve escolher um ϵ de antemão. Seja ϵ> 0, só então você deve ter certeza de que sempre encontrará um δ para o qual as desigualdades são válidas. Você está certo no sentido de que δ deve depender de ϵ, está implícito na definição de continuidade uniforme como você disse, a diferença entre as duas continuidades é o fato de que δ não depende da sua escolha de x, mas δ deve com certeza depende de ϵ. Você apenas tem que ter certeza de que ϵ não surge do nada e está escrito de antemão que estamos escolhendo ϵ> 0, então, uma vez que o valor de ϵ seja fixo, se sempre pudermos encontrar o δ que funciona, o a prova deve estar bem. Mas é muito importante que você escolha ϵ antes de tudo, caso contrário, tudo se desintegra (isso vale para qualquer definição de convergência em geral)