Convergência em questão de probabilidade.

Question

Deixei $\lambda_n = 1/n$ para $n=1,2,\ldots$. Deixei$X_n \sim Poi(\lambda_n)$. Mostre que a)$X_n \rightarrow_P 0$. b) Deixe$Y_n = nX_n$. Mostra isso$Y_n \rightarrow_P 0$ (Onde $\rightarrow_{P}$ denota convergência em probabilidade)

A parte a) é relativamente simples, pois sabemos que $\mathbb{E}(X_n) = \lambda_n = 1/n$ e $\mathrm{var}(X_n) = \lambda_n = 1/n$. Nós sabemos disso desde$X_n >0$ este $|X_n| = X_n$. Então, pela desigualdade de Chebyshev, sabemos que$$P(X_n >\epsilon) \leq \frac{\mathrm{var}(X_n)^2}{\epsilon^2} = \frac{1}{n^2\epsilon^2} \rightarrow 0\;\mathrm{as\;}n \rightarrow \infty. $$

Para a parte b) não posso usar a mesma abordagem que $\mathbb{var}(Y_n) = n^2*1/n = n$. Também sei que convergência na média quadrática implica convergência na probabilidade, mas$\mathbb{E}(Y_n - 0)^2 = n^2(\mathbb{E}(X_n^2)) = n^2(1/n + 1/n^2) \not \rightarrow \infty$ Como $n \rightarrow \infty$. Alguma ideia?

Answer 1

Caso você não esteja familiarizado com as funções características (ainda), você pode usar o fato de que $$P(nX_{n}=0)=P(X_{n}=0)=e^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 $$ uma vez que a distribuição de Poisson é uma distribuição discreta com valores em $\mathbb{N} \cup \{0\}$

Answer 2

Uma forma de provar isso $nX_n \to 0$em probabilidade é usar funções características. Lembre-se disso$Ee^{itX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{it})}$. Conseqüentemente$Ee^{itnX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{int})} \to 1$ Como $ n \to \infty$. Isso implica que$nX_n \to 0$ na distribuição que é equivalente à convergência em probabilidade.