Converse com o Teorema de Hurwitz

Question

Este é o problema 17 do capítulo 14 do Papa Rudin.

Suponha que temos uma região $\Omega$ (abra o subconjunto conectado do plano) e alguns $f_n$ que são holomórficos em $\Omega$ e convergem para $f$ uniformemente em subconjuntos compactos de $\Omega$ Onde $f$ é uma função um-para-um.

Fixar $K \subset \Omega$ Onde $K$é compacto. É possível para infinitamente muitos dos$f_n$ para NÃO ser um-para-um quando restrito a $K$?

Desde já, obrigado!

Answer 1

Esboço da prova:

o resultado está correto em compactos (há sequências não injetivas, mas apenas no conjunto aberto completo, uma vez que você fixa um compacto, eles se tornam eventualmente injetivos) - a ideia é considerar primeiro o caso $K$ é o fechamento de um domínio Jordan e assumindo (passando para subsequências etc) $f_n(z_n)=f_n(w_n)=a_n \to a$ Onde $z_n \to y, w_n \to w$, primeiro $f(y)=f(w)$ por isso $y=w$ e desde $f(w)=a$ considere o número de enrolamento de $f-a$ em torno de um pequeno círculo centrado em $w$ (qual é $1$), então o mesmo é eventualmente verdadeiro para $f_n-a$

Mas agora escolhendo um pequeno círculo de raio $\epsilon$ em volta $w$ e $|f(\zeta)-a| \ge 2\delta>0, |\zeta-w|=\epsilon$, por convergência uniforme $|f_n(\zeta)-a| \ge \delta>0, n \ge n(\delta), |\zeta-w|=\epsilon$ lá, então escolher tal $n$ para qual $|a_n-a| < \delta/2, |z_n-w|, |w_n-w| <\epsilon$ podemos aplicar Rouche e $f_n-a_n, f_n-a$ tem o mesmo número de zeros no disco do centro $w$ e raio $\epsilon$ por isso $f_n-a$ tem número de enrolamento pelo menos $2$ e isso é uma contradição.

Para ir de um compacto geral para um como acima, "circunde-o" por uma bela curva de Jordan $J$ que fica em $\Omega$, então é o suficiente para mostrar que $f_n$ eventualmente é injetável no interior de $J$

Por exemplo $(1-z)^2$ é injetiva no disco da unidade aberta e $(1-1/n)-z)^2 \to (1-z)^2$ uniformemente em compactos, mas leva o mesmo valor quando $z+w=2-2/n$ e isso pode acontecer claramente para $|w|,|z|<1$ mas para qualquer compacto dentro do disco da unidade, essa relação não pode ser cumprida a partir de alguns $n$ sobre