Diferença entre $\equiv$ e $=$?

Question

Qual é a diferença entre $\equiv$ e $=$?

Meu pensamento é que, quando $\equiv$ é usado $=$poderia ter sido usado também. A expressão resultante não estaria errada, mas apenas assumiria um significado ligeiramente diferente. Mas qual é exatamente a relação entre esses símbolos?

Para dar um exemplo prático, considere o seguinte: $$ 𝑋=𝑌:⟺∀𝑥:(x∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$ $$ 𝑋=𝑌:=∀𝑥:(x∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$ $$ 𝑋=𝑌:\equiv∀𝑥:(x∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$

Ou aqueles: $$ 5+7=12 $$ $$ 5+7\equiv12 $$ $$ 5+7=7+5 $$ $$ 5+7\equiv7+5 $$

Answer 1

o $:$ é crucial aqui, indicando que o que está à esquerda de $:\Longleftrightarrow$, $:=$ ou $:\equiv$ é definido como o que está à direita. Todos esses três símbolos de dois caracteres significam a mesma coisa. Mas se você pedir uma comparação dos significados de "nu"$\Longleftrightarrow$, $=$, $\equiv$, bem, esses são todos diferentes.

Os dois primeiros são fáceis: $\Longleftrightarrow$ significa sif, e $=$significa igual. Mas$\equiv$ pode denotar identidades (fazer é mais forte do que $=$) ou relações de equivalência (que são mais fracas do que$=$, e frequentemente denotado $\sim$, embora a congruência em particular seja sempre representada com$\equiv$.)

Answer 2

Infelizmente, existem alguns usos diferentes para $\equiv$, e pode ser mais forte ou mais fraco do que $=$.

Um significado comum é "é identicamente igual a". Um caso típico onde você veria isso é$f(x)\equiv g(x)$, e é importante ressaltar que as funções $f$ e $g$ são iguais, em vez de apenas seus valores serem iguais para um determinado $x$. É basicamente o mesmo que "para todos$x$, $f(x)=g(x)$". Também podemos usar $\equiv$ para distinguir uma relação que sempre se mantém, como $cos^2 x\equiv 1-\sin^2 x$, de uma equação a ser resolvida para $x$, tal como $\cos x=1-\sin x$.

Outro uso comum é na aritmética modular, ou "relógio". Aqui, dizemos que dois inteiros são módulo congruente$m$ se eles diferem por um múltiplo de $m$. A conexão com os relógios é que dois tempos de 4 horas não são necessariamente o mesmo, mas devem ser múltiplos de 12 horas. Nós escrevemos$a\equiv b\pmod m$ para "$a$ é congruente com $b$ modulo $m$". Aqui $16\equiv 4\pmod{12}$, mas é claro $16\neq 4$.

Answer 3

$\equiv$ significa "igual para todos os valores das variáveis", enquanto $=$significa apenas "igual" (talvez apenas para alguns valores das variáveis). Por exemplo, compare$$\cos(\alpha+\beta)\equiv\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ com $$ \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha-\beta).$$A primeira afirmação é verdadeira porque os dois lados são iguais para todos $\alpha$ e $\beta$, enquanto o segundo pode ser verdadeiro para certos valores de $\alpha$ e $\beta$ (ou seja, quando um deles é um múltiplo de $\pi$)

Answer 4

$\equiv$ é usado para $\text{identity}$ principalmente, mas $=$ é usado para equação