Equação de Euler Lagrange para um determinado funcional

Question

Como posso mostrar (usando as equações de Euler Lagrange) que: para constantes (massa e tempo) $m,h>0$

\begin{align} h\inf \bigg\{ &\int_0^h m\left\| \frac{d^2}{dt^2}\xi (t) \right\|^2 : \xi \in C^1([0,h];\mathbb{R}^d), \\ &(\xi,m\dot{\xi})(0)=(q,p), \ (\xi,m\dot{\xi})(h)=(q',p') \bigg\} \\ =&\|p'-p \|^2 + 12\left\| \frac{m}{h}(q'-q)-\frac{p'-p}{2} \right\|^2. \end{align}

Estou confuso como aplicar essas equações.

Answer 1

Usando a equação de Euler Lagrange, você pode mostrar que o infinito é de fato alcançado para uma função $\varphi \in C^1([0,h],\mathbb{R}^d)$ que verifica:

$$ \frac{d^4 \varphi}{dt^4}(t)=0, \quad \forall t \in [0,h]\\ \varphi(0)=q\\ \varphi'(0)=\frac{p}{m}\\ \varphi(h)=q'\\ \varphi'(h)=\frac{p'}{m} $$

A primeira equação mostra que existem constantes $(c_3,c_2,c_1,c_0)\in (\mathbb{R}^d)^4$ tal como : $$\varphi(t)=c_3t^3 +c_2 t^2 + c_1t+ c_0$$ e você encontra as quatro constantes usando as 4 condições de contorno.

Depois disso, tudo que você precisa calcular é:

$$h m \int_0^h ||\underbrace{6 c_3 t+2 c_2}_{\frac{d^2}{dt^2}\varphi(t)}||^2 \ \mathrm{d}t$$ que deve lhe dar a boa fórmula.