Função é endomorfismo trivial

Question

Estou lendo um livro sobre teoria da representação que diz o seguinte.

$G$ é um grupo finito com representação irredutível $\rho:G\to GL(V)$ sobre o campo $k$ (possivelmente fechado algebricamente, supõe-se que todos os campos sejam fechados algebricamente, o que não tenho certeza se estende a esta página do livro). $\phi$ é uma função de classe de $G$ para $k$ satisfatório $(\phi,\chi_\rho)=0$. Definir$$T=\frac{1}{\#G}\sum\limits_{g\in G}\phi(g^{-1})\rho_g.$$ O texto afirma que $T=0$. Eu não tenho certeza de como ver isso. Eu vejo porque$T\in End_GV$, então se $k$ é algebricamente fechado, então podemos identificá-lo com algum elemento de $k$ (e independentemente $End_GV$ é um anel de divisão, pelo lema de Schur), mas não vejo por que $T$ devemos ser $0$.

Há algo que estou perdendo aqui? Desde já, obrigado.

Answer 1

Presumo que você esteja na característica zero.

Como você diz, $T$ é uma matriz escalar (lema de Schur).

O traço de $T$ é $$\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g^{-1})\textrm{Tr}(\rho_g)=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\phi(g^{-1})\chi_\rho(g)=(\phi,\chi_\rho)=0.$$ Como $T=\lambda I$ e tem traço zero, então $\lambda=0$.

Answer 2

Suponha $T=aI$ é um múltiplo escalar do mapa de identidade.

A obtenção de rastros produz $\mathrm{tr}(T)=(\dim V)a=(\phi,\chi)=0$, assim $a=0$.

(Eu assumo $\dim V$ é invertível no campo base.)