Função Geradora de Probabilidade de Zn

Question

Dada a seguinte função geradora de probabilidade:

$G(s)=1-α(1-s)^β$

Onde$0≤α≤1$e$0$<$ β≤1$.

Somos capazes de derivar a função geradora de probabilidade$G_n(s)$da variável aleatória$Z_n$na notação usual onde$G_n(s)=G(G_{n-1}(s))$e assim encontrar uma expressão para$P(Z_n=0), P(Z_n=1)$, e$P(Z_n=2)$?

eu tentei encontrar$E[Z]$por encontrar$G'(1)$mas acabou com$αβ(1-s)^{β-1}$, Onde$(1-s)$será 0 e$\beta -1 ≤ 0$tornando-o indefinido.

No entanto, fui capaz de encontrar a probabilidade de extinção final (tratando isso como um processo de ramificação) como uma série geométrica em potência de$\alpha$em:

$G_n(0) = 1-\alpha ^{\frac{1- \beta ^n}{1-\beta}}$

Mas não tenho certeza de como isso seria útil para determinar o PGF de$Z_n$e as respectivas probabilidades.

Answer 1

Usando indução em$n$, você consegue facilmente$G_n(s)=1-\alpha^{(1-\beta^n)/(1-\beta)}(1-s)^{\beta^n}$(leitura$1-\alpha^n(1-s)$por$\beta=1$). Quanto aos valores esperados, você obteve um resultado correto; estes não existem (ou seja, são$\infty$) E se$\beta<1$.