Função harmônica e conjugado harmônico

Question

Deixei $u:G\subset\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ uma função harmônica $v:G\rightarrow \mathbb{R}$ a função conjugada harmônica, com $G$um domínio. Provar que$u^2-v^2$ e $uv$ são harmônicos sem derivadas.

Antes disso, eu provei que $u^2$ é harmônico, se $u$é uma função harmônica. Então, eu pensei que$u^2$ e $v^2$ são funções harmônicas, e eu queria concluir que $u^2-v^2$ é uma função harmônica.

No entanto, essa interpretação está errada.

desde já, obrigado

Answer 1

Desde a $v$ é um conjugado harmônico para $u$, isso significa que a função $f=u+iv$ é holomórfico no domínio $G$Especificadas. No entanto, é fácil mostrar que se$f$ é holomórfico, então $f^2$é holomórfico e pelas equações de Cauchy-Riemann, é real e sua parte imaginária são funções harmônicas. Expandir mostra que

$$f^2=(u+iv)^2=u^2-v^2+i(2uv)\equiv \Re f+ i \Im f$$

e, portanto, as funções $\Re f=u^2-v^2$ e $\Im f=2uv$ e são harmônicos (obviamente, se $2uv$ é harmônico então também $uv$ é).

Answer 2

E se $v$ é o conjugado harmônico de $u$, então

$f(z) = u(z) + iv(z) \tag 1$

é holomórfico; assim é$(f(z))^2$; agora,

$(f(z))^2 = (u(z) + iv(z))^2 = u^2(z) - v^2(z) + 2iu(z)v(z); \tag 2$

Desde a $u^2 - v^2$ e $2uv$ são as partes reais e imaginárias de $f^2(z)$, eles são harmônicos; $2uv$ harmônico implica que $uv$ é.

Nota Bene: se$u$ é harmônico, então $u^2$ é apenas harmônico se e somente se $\nabla u = 0$, pois temos

$\nabla u^2 = \nabla \cdot (\nabla u^2) = \nabla \cdot (2u\nabla u)$ $= 2\nabla u \cdot \nabla u + 2u\nabla \cdot \nabla u = 2\nabla u \cdot \nabla u + 2u\nabla^2 u = 2\nabla u \cdot \nabla u, \tag 3$

Desde a

$\nabla^2 u = 0; \tag 4$

ficamos com

$\nabla u^2 = 2\nabla u \cdot \nabla u; \tag 5$

portanto, para harmônico $u$, $u^2$ harmônico é equivalente a

$\nabla u = 0, \tag 6$

isso é, $u$ é constante em componentes conectados de $G$.

Neste argumento, usei a identidade bem conhecida

$\nabla \cdot (u \nabla u) = \nabla u \cdot \nabla u + u \nabla \cdot \nabla u, \tag 7$

que é encontrado em muitas fontes no operador gradiente $\nabla$e identidades de cálculo vetorial; o leitor pode verificar a wikipedia ou simplesmente google para mais informações. Fim da nota.