Homologia com sistemas locais

Question

Deixar $X$ser um espaço topológico conectado com o grupo fundamental abeliano. Deixar$\mathcal{L}$ seja um $\mathbb{Z}$-sistema local avaliado em $X$.

Suponha que eu conheça a homologia completa $H_*(X;\mathbb{Z})$. Existem ferramentas que me permitam calcular (alguma parte) a homologia do coeficiente local$H_*(X; \mathcal{L})$? Por exemplo, se eu souber que a classificação de$H_*(X;\mathbb{Z})$ torna-se ilimitado em função do grau, posso concluir o mesmo sobre $H_*(X; \mathcal{L})$?

Answer 1

Uma abordagem é usar o mod $2$homologia. Você sabe disso

$H_i(X;\mathbb Z/2)$ é isomórfico a ambos $ H_i(X)\otimes \mathbb Z/2\oplus Tor(H_i(X),\mathbb Z/2)$ e $H_i(X;\mathcal L:)\otimes \mathbb Z/2\oplus Tor(H_i(X;\mathcal L),\mathbb Z/2)$. Se os grupos de homologia integral forem gerados finitamente, isso lhe dará o que você deseja.

Mas se $2$ é invertível na homologia integral, então não acho que haja muito que você possa dizer. $X$ tem um $2$- espaço coberto com folhas $\tilde X$, e se $H_i(\tilde X)$ é um $\mathbb Z[1/2]$-módulo então ele se divide como uma soma direta do $+1$ e $-1$ `` autoespaços '' para a ação da transformação de cobertura, que são então $H_i(X)$ e $H_i(X;\mathcal L)$. Essas duas partes não precisam ter nada a ver uma com a outra.