Logaritmo de matrizes singulares

Question

Eu queria calcular a seguinte quantidade:

$X=Tr[\rho_1 \log[\rho_2]]$,

como na entropia relativa . Aqui,$\rho_1, \rho_2$ são matrizes semidefinidas positivas com suporte não ortogonal (de modo que a coisa não diverge - termos como $0 \log[0]$ deve ser levado a zero, que é a suposição padrão) e $Tr$ é rastreamento.

Há uma pergunta SE semelhante , a função dada

MatrixLogSafe[x_] := MatrixFunction[Piecewise[{{Log[#1], #1 > 0}}] &, x]

que deveria lidar com o logaritmo da matriz, ele se comporta, no entanto, de forma estranha.

Por ex, presumo que $\rho_1 =\rho_2 =\{\{0.33,0,0\},\{0,0,0\},\{0,0,0.66\}\}$. A quantidade$X$ então deveria ser

$X=0.33 \log[0.33] + 0.66 \log[0.66]= -0.640099$.

No entanto, usar MatriLogSafe na definição fornece uma saída diferente:

In[402]:= Tr[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}.MatrixLogSafe[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}]]

Out[402]= -0.731717

O problema é que o MatrixLogSafe às vezes "muda os autovetores",

In[403]:= MatrixLogSafe[{{0.33, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, 0, 0.66}}]

Out[403]= {{0., 0., 0.}, {0., -0.415515, 0.}, {0., 0., -1.10866}}

(então $\log[0.33]= -1.10866$ e $\log[0.66]=-0.415515$, mas a saída deve ser {{-1.10866, 0, 0.}, {0., 0., 0.}, {0., 0., - 0.415515}}).

(De alguma forma, acho que o problema é que eu uso valores numéricos, mas quero que a função funcione tanto para números numéricos quanto para números "exatos" (?))

Como se pode consertar?

---

Eu considerei a resposta dada por Carl Woll, porém algo ainda não está funcionando. Em particular, considere duas matrizes,$\rho_1$:

{{1/4, 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/
  4}, {1/4 E^((I \[Pi])/10), 1/4, 1/4, 
  1/4 E^((I \[Pi])/10)}, {1/4 E^((I \[Pi])/10), 1/4, 1/4, 
  1/4 E^((I \[Pi])/10)}, {1/4, 1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-((I \[Pi])/10)), 1/4}}

e $\rho_2$:

{{1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2}, {1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 
  1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))}, {1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/(4 Sqrt[
    E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E]), 
  1/4 E^(-(1/2) + (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))}, {1/(
   4 Sqrt[E]) + (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10))^2, 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 
  1/4 E^(-(1/2) - (I \[Pi])/10) + 
   1/2 (1 - 1/Sqrt[E]) (1/4 E^(-((I \[Pi])/10)) + 
      1/4 E^((I \[Pi])/10)), 1/4 (1 - 1/Sqrt[E]) + 1/(4 Sqrt[E])}}

que podem ser feios, mas ambos são hermitianos e semi-definidos.

Eu fico porém complexo $X$ ($X=densityTrace[\rho_1,\rho_2]=-0.0019613 + 0.393667 I$), o que não pode ser!

No entanto, se eu calcular primeiro as matrizes numéricas, obtenho uma saída real $densityTrace[N[\rho_1],N[\rho_2]]=-0.0432473$ (?!)

Eu mudei ligeiramente a definição de densityTrace

densityTrace[a_, b_] := Module[{λ, S, d},
{λ, S} = Eigensystem[b];
S = Transpose[S];
d = Diagonal[Inverse[S]. a. S];
Total @ MapThread[If[Chop[#1]==0,0,Chop[#1] Log[Chop[#2]]]&, {d, λ}]

]

(adicionando Chop), para se livrar de alguns "resíduos" imaginários muito pequenos, é uma boa idéia?

Answer 1

Talvez você possa usar Eigensystempara transformar sua matriz singular$\rho_2$ para dentro $S.d.S^{-1}$e, em seguida, use a propriedade cíclica de Tr. Isso é:

$$ \begin{align} \text{Tr}{\left(\rho_1 . \log(\rho_2) \right)}&= \text{Tr}{\left(\rho_1 . \log(S . d . S^{-1})\right)} \\ &= \text{Tr}{\left(\rho_1 . S . \log(d) . S^{-1} \right)}\\ &= \text{Tr}{\left(S^{-1} . \rho_1 . S . \log(d)\right)}\\ &= \text{Diagonal}{\left( S^{-1} . \rho_1 . S\right) . \log (d)} \end{align} $$

Algum código que implementa essa ideia:

densityTrace[a_, b_] := Module[{λ, S, d},
    {λ, S} = Eigensystem[b];
    S = Transpose[S];
    d = Diagonal[Inverse[S]. a. S];
    Total @ MapThread[If[#1==0,0,#1 Log[#2]]&, {d, λ}]
]

Para suas matrizes de exemplo:

m1 = m2 = DiagonalMatrix[{.33, 0, .66}];
densityTrace[m1, m2]

-0,640099

Answer 2

Provavelmente é mais fácil detectar a singularidade mais cedo:

MatrixLogSafe[x_?SquareMatrixQ] /; Det[x] > 0 := MatrixLog[x];
MatrixLogSafe[x_?SquareMatrixQ] := ConstantArray[0, Dimensions[x]];

Posso estar errado sobre a condição exata de que você precisa. De qualquer forma, não espero MatrixFunction[Piecewise[...]]fazer muito bem a você. Eu nem tenho certeza do que a condição # > 0deve fazer dentro de MatrixFunction.