Lógica de predicado e inferência

Question

Suponha que dados três predicados são apresentados abaixo:

$H(x)$: $x$ é um cavalo

$A(x)$: $x$ é um animal

$T(x,y)$: $x$ é um rabo de $y$

Em seguida, traduza a seguinte inferência em uma inferência usando expressões lógicas de predicado e prove se a inferência é válida ou não (por exemplo, usando dedução natural):

Cavalos são animais.

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Caudas de cavalos são caudas de animais.

Meus pensamentos: sou muito bom em traduzir expressões lógicas de predicados, mas aqui me esforcei para criar uma fórmula para caudas de cavalos. Minha ideia inicial era considerar uma frase semelhante como "w é o rabo de um cavalo" para formar a inferência necessária, mas não foi bem-sucedida. Teremos prazer em ouvir suas idéias sobre esta tarefa.

Answer 1

Como sugerido corretamente no Lemontree's https://math.stackexchange.com/a/3840664/288417, "Caudas de cavalos são caudas de animais" pode ser formalizado como $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to A(y) \big)$ ou mais precisamente, $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$.

Claro, o argumento

$\frac{\text{Horses are animals}}{\text{Horses' tails are tails of animals}} \quad \text{i.e.} \quad \frac{\forall y (H(y) \to A(y))}{\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)}$

é válido. Em primeiro lugar, dou-lhe uma prova informal disso.

Queremos provar isso $\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$, sob a hipótese $\forall y (H(y) \to A(y) )$. Então, vamos corrigir indivíduos arbitrários$x$ e $y$ e vamos supor que $H(y) \land T(x,y)$, temos que mostrar que $A(y) \land T(x,y)$. Visto que por hipótese$\forall y (H(y) \to A(y) )$, conseqüentemente $H(y) \to A(y)$ vale para o particular $y$nós escolhemos. Além disso, estamos supondo que$H(y) \land T(x,y)$ e em particular $H(y)$detém. Por modus ponens , de$H(y) \to A(y)$ e $H(y)$ segue que $A(y)$. Além disso, já que estamos supondo que$H(y) \land T(x,y)$, em particular $T(x,y)$detém. Então,$A(y) \land T(x,y)$. Portanto, provamos que, por arbitrária$x$ e $y$, E se $H(y) \land T(x,y)$ então $A(y) \land T(x,y)$. Portanto,$\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)$ detém, sob a hipótese $\forall y (H(y) \to A(y))$.

Você pode formalizar esta prova em dedução natural da seguinte forma:

$$ \dfrac {\dfrac {\dfrac {\dfrac{\dfrac{\forall y (H(y) \to A(y))}{H(y) \to A(y)}\forall_\text{elim} \qquad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{H(y)}\land_\text{elim}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{A(y)}\to_\text{elim} \quad \dfrac{[H(y) \land T(x,y)]^*}{T(x,y)}\land_\text{elim}} {A(y) \land T(x,y)}\land_\text{intro}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {(\!\!\!\!\!\!\!\!H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))} \to_\text{intro}^*\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! } {\dfrac {\forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} {\forall x \forall y \big((H(y) \land T(x,y)) \to (A(y) \land T(x,y))\big)} \forall_\text{intro} } \forall_\text{intro} $$

Answer 2

Dicas:

"$x$ é um $P$cauda de "significa que $x$ é um rabo de $y$ e $y$ é um $P$.

"Caudas de cavalos são caudas de animais" significa que para todas as caudas $x$ e porta-cauda $y$, a cauda sendo a cauda de um cavalo implica a cauda sendo a cauda de um animal (onde por "ser um $P$cauda de "inserir a definição acima).

Com a formalização adequada desta paráfrase, é possível encontrar uma prova formal da inferência.