Maior Valor Singular da Matriz Triangular

Question

Deixei $R\in\mathbb{R}^{d\times d}$ ser uma matriz triangular superior.

Os autovalores de $R$ são, então, suas entradas diagonais, ou seja, $(R_{ii}, e_i)$ é um eigenpair de $R$ Desde a $Re_i=R_{ii}e_i$.

É possível limitar o maior valor singular $\sigma_\max (R)=\sqrt{\lambda_\max (RR^T)}$ pelas entradas diagonais de $R$?

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A desigualdade de Weyl nos diz$\lambda_\max \le \sigma_\max$qual é a direção errada. Mas talvez possamos conseguir algo como$\sigma_\max < \lambda_\max^2$ assumindo $\lambda_\max>1$? Ou pode o maior valor singular ser arbitrariamente maior?

Answer 1

É possível limitar o maior valor singular $\sigma_\max (R)=\sqrt{\lambda_\max (RR^T)}$ pelas entradas diagonais de $R$?
Se você olhar para a natureza ilimitada da norma Frobenius, a resposta, claro, é não.

com vetores de base padrão $\mathbf e_k$, considere
$R' := R +\alpha \mathbf e_1\mathbf e_d^T$
$R$ e $R'$ têm as mesmas entradas diagonais e, portanto, teriam o mesmo limite superior fixo suposto $M$. Ainda, selecionando grande o suficiente$\alpha$ temos
$M\lt \frac{1}{d}\big \Vert R'\big\Vert_F \leq \sigma_1$