Mapas entre objetos colimit

Question

Deixar$\lbrace A_i \rbrace_{i\in I}$e$\lbrace B_j \rbrace_{j\in J}$ser dois diagramas em uma categoria$\mathcal{C}$. Deixar$A=\text{colim}_{i\in I} A_i$e$B= \text{colim}_{j\in J} B_j$. Dados dois mapas$f,g: A\rightarrow B$, supondo que o coequalizador$C$existe, pode$C$ser apresentado em termos do colimit de um diagrama que consiste em objetos$A_i$e$B_j$?

Answer 1

É uma conjectura tentadora, mas falsa! Deixe todos os$A_i$e$B_i$ser cópias de$\mathbb{Z}$na categoria$\text{Ab}$de grupos abelianos e deixe que ambos os colimites sejam coprodutos. Então todo grupo abeliano ocorre como um coequalizador de um par de mapas entre tais coprodutos (isso diz exatamente que todo grupo abeliano tem uma apresentação), mas nem todo grupo abeliano ocorre como um colimite de cópias de$\mathbb{Z}$. Eu fiz exatamente essa pergunta no MathOverflow há algum tempo e recebi uma resposta negativa muito informativa.

Answer 2

Deixe-me mudar a notação. Deixar$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$e$Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$ser functores, deixe$\mathcal{D}$ser a subcategoria completa de$\mathcal{C}$atravessado pelas imagens de$X : \mathcal{I} \to \mathcal{C}$e$Y : \mathcal{J} \to \mathcal{C}$, e deixar$\bar{X} = \varinjlim_\mathcal{I} h_X$e$\bar{Y} = \varinjlim_\mathcal{J} h_Y$dentro$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, onde definimos$h_T (S) = \mathcal{C} (S, T)$. Então,$$\textstyle [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}](\bar{X}, \bar{Y}) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y)$$então um morfismo$f : \bar{X} \to \bar{Y}$pode ser decomposto em uma família de morfismos$X (i) \to Y (j_i)$indexado por$i \in \operatorname{ob} \mathcal{I}$, módulo uma certa relação de equivalência. Por outro lado, mesmo que$X$e$Y$tem colimites em$\mathcal{C}$, na melhor das hipóteses só podemos dizer$$\textstyle \mathcal{C} \left( \varinjlim_\mathcal{I} X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right) \cong \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$e embora haja um mapa de comparação canônico$$\textstyle \varprojlim_\mathcal{I} \varinjlim_\mathcal{J} \mathcal{C}(X, Y) \to \varprojlim_\mathcal{I} \mathcal{C} \left( X, \varinjlim_\mathcal{J} Y \right)$$geralmente não é uma bijeção.

Se – este é um grande se – o par paralelo$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$dentro$\mathcal{C}$você está interessado pode ser levantado através deste mapa de comparação, então seu coequalizador é um colimit de um diagrama construído a partir de$X$e$Y$.

De fato, deixe$f_0, f_1 : \bar{X} \to \bar{Y}$ser morfismos em$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Então podemos formar seu coequalizador$\bar{Z}$dentro$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$. Existe um diagrama canônico$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$cujo colimit em$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$é$\bar{Z}$. Explicitamente,$\textbf{El} (\bar{Z})$é a seguinte categoria:

• Os objetos em$\textbf{El} (\bar{Z})$são pares$(D, z)$Onde$D$é um objeto em$\mathcal{D}$e$z$é um elemento de$\bar{Z} (C)$.
• Os morfismos$(D, z) \to (D', z')$dentro$\mathcal{K}$são os morfismos$g : D \to D'$dentro$\mathcal{D}$de tal modo que$z' \cdot g = z$.
• A composição é herdada de$\mathcal{D}$.

Há uma projeção óbvia$R : \textbf{El} (\bar{Z}) \to \mathcal{D}$e é simples verificar que$\bar{Z} \cong \varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} h_R$. eu afirmo:$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$é o coequalizador de$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$dentro$\mathcal{C}$, no sentido forte de que$\varinjlim_{\textbf{El} (\bar{Z})} R$existe em$\mathcal{C}$se e somente se o coequalizador existe em$\mathcal{C}$e são isomórficos.

Deixar$\bar{\mathcal{D}}$ser a subcategoria completa de$\mathcal{C}$atravessado pelos objetos$C$dentro$\mathcal{C}$tal que, para cada objeto$T$dentro$\mathcal{C}$, o mapa canônico (induzido pela restrição da incorporação de Yoneda)$$\mathcal{C} (C, T) \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] (h_C, h_T)$$é uma bijeção. O lema usual de Yoneda nos diz$\mathcal{D} \subseteq \bar{\mathcal{D}}$, mas, para qualquer diagrama$Z : \mathcal{K} \to \bar{\mathcal{D}}$,$$\textstyle \varprojlim_\mathcal{K} \mathcal{C} \left( Z, T \right) \cong \varprojlim_\mathcal{K} [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( h_Z, h_T \right) \cong [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}] \left( \varinjlim_\mathcal{K} h_Z, h_T \right)$$naturalmente em$T$, então se$\varinjlim_\mathcal{K} Z$existe em$\mathcal{C}$então também está em$\bar{\mathcal{D}}$- resumidamente,$\bar{\mathcal{D}}$é fechado sob colimites que existem em$\mathcal{C}$. Em particular,$\varinjlim_\mathcal{I} X$e$\varinjlim_\mathcal{J} Y$estão dentro$\bar{\mathcal{D}}$, e se o par paralelo$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$dentro$\mathcal{C}$tem um coequalizador do que o coequalizador também está em$\bar{\mathcal{D}}$. Basicamente, a definição de$\bar{\mathcal{D}}$garante que tudo o que pode ser provado sobre colimites iterados em$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$também é verdade em$\mathcal{C}$, desde que todos os colimites envolvidos possam ser realizados em$\bar{\mathcal{D}}$. Assim, se o par paralelo$\varinjlim_\mathcal{I} X \rightrightarrows \varinjlim_\mathcal{J} Y$dentro$\mathcal{C}$pode ser levantado para um par paralelo$\bar{X} \rightrightarrows \bar{Y}$dentro$[\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$, então o coequalizador em$\mathcal{C}$pode ser identificado com o colimit em$\mathcal{C}$de um diagrama em$\mathcal{D}$.

Pode valer a pena notar que a representação da Yoneda$\bar{\mathcal{D}} \to [\mathcal{D}^\textrm{op}, \textbf{Set}]$pode não ser totalmente fiel nem preservar colimites... mas isso é apenas reformular a advertência no primeiro parágrafo.