Mostra isso $e^{-|x|^\alpha}$ é $\lambda^d$ integrável para todos $\alpha>0$

Question

O exercício pede para mostrar que a função $x\mapsto e^{-|x|^\alpha}$ de $\mathbb{R}^d$ para $\mathbb{R}$ é é $\lambda^d$ integrável para todos $\alpha>0$, Onde $\lambda^d$ denota medida Lebesgue em $\mathbb{R}^d$. Como uma dica, nos referimos a um exercício anterior, onde mostramos que a mesma função em$\mathbb{R}$ é $\lambda^1$ integrável.

Esta questão usa coordenadas polares, mas em meu livro ainda não usamos essa técnica. Em vez disso, acho que devemos usar o teorema de Tonelli, mas então como posso mostrar a integrabilidade de cada um dos$d$ integrais sobre $\mathbb{R}$?

Answer 1

Isso pode ser feito com o teorema de Fubini-Tonelli. Deixei$f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ ser uma função tal que

$$0 \leq f(x_1, \ldots, x_d) \leq \prod_{i=1}^d g_i (x_i)$$

para todos $(x_i)_{1 \leq i \leq d}$ e algumas funções não negativas $g_i$. Então o teorema de Fubini-Tonelli nos permite dividir a integral de$f$:

$$0 \leq \int_{\mathbb{R}^d} f \ d \lambda^d \leq \prod_{i=1}^d \int_{\mathbb{R}} g_i \ d \lambda^1.$$

Agora, basta encontrar uma função integrável $g$ de tal modo que $e^{-|x|^\alpha} \leq \prod_{i=1}^d g(x_i)$ em toda parte.

A coisa mais simples de tentar é pegar $g(x_i) = e^{-c |x_i|^\alpha}$ por alguma constante $c > 0$ (que pode depender de $d$) Por monotonicidade, a desigualdade se mantém se e somente se

$$|x|^\alpha \geq c \sum_{i=1}^d |x_i|^\alpha$$

para todos $x \in \mathbb{R}^d$. Isso pode ser feito (por exemplo, com$c = 1/d$), mas neste ponto, vou deixar você tentar.