Números com os mesmos dígitos pares e ímpares

Question

Mostre que existem exatamente $281250$ números de seis dígitos com três números pares e três números ímpares.

Minha resposta é: $1000000\cdot \binom{6}{3}\cdot \left( \dfrac12 \right)^6-100000\cdot \binom{5}{2}\cdot \left( \dfrac12 \right)^5$.

Meu raciocínio é: de $000000$ para $999999$, há $1.000.000$números. Mas aqueles que começam com$0$ devem ser subtraídos porque não seriam $6$números de dígitos. Então nós temos$1.000.000\times 1/2$ você tira todos os que não estão nem no primeiro dígito. $1/2$ todos os que não estão nem no segundo dígito. $1/2$ todos os que não estão nem no terceiro dígito E agora $(1/2)^3$todos os que não são ímpares no quarto quinto e sexto dígito. Então$\binom{6}{3}$ como serão as diferentes combinações do $3$ números pares e sobre o $6$posições. Depois de fazer tudo isso, você deve subtrair todos aqueles que começam com$0$. Para fazer isso por um raciocínio semelhante, tomamos o$100.000$ números que começam com $0$. Nós multiplicamos por$1/2$ e $1/2$ para subtrair aqueles que não são números pares da primeira e segunda posições e então $(1/2)^3$para remover aquelas que não são ímpares do resto das posições. E então nós o multiplicamos por$\binom{5}{2}$ das diferentes combinações do $2$ pares entre os cinco dígitos ou $\binom{5}{3}$ das diferentes combinações do $3$ números ímpares sobre o $5$ dígitos (como vemos é o mesmo $\binom{5}{2}$ Como $\binom{5}{3}$)

Está correto?

Answer 1

Reescrevendo sua resposta como $$5^3\cdot5^3\cdot {6 \choose 3}-5^2\cdot5^3\cdot {5 \choose 2}$$ e explicando por

o número de sequências de seis dígitos com três dígitos pares e três dígitos ímpares, menos o número de sequências de seis dígitos onde o dígito inicial é $0$ e dois dos outros são pares e três ímpares

sugere-me que sua resposta está correta