O número de fios de nós é invariante?
Pergunta: O número de componentes em um nó depende da incorporação planar específica?

Tenho investigado como calcular o número de componentes ("fios separados") em um nó celta com base na estrutura do gráfico planar subjacente. (Veja a relação entre nós / ligações e gráficos planares aqui ).
Aparentemente, o cálculo para gráficos gerais é um pouco complicado; por exemplo, a referência nesta questão aponta que para um uniforme$m\times n$ grade de quadrados, o número de componentes é $\mathrm{lcd}(m,n)$.
Ficaria satisfeito em encontrar uma fórmula para calcular o número de componentes ("fios"), ou uma relação entre o número de fios e várias propriedades do gráfico, como seu grau, espectro, etc., mesmo se essas propriedades fossem difíceis de calcular .
Uma abordagem que fiz é em termos de componentes conectados: cada fio separado segue uma trajetória particular, e os componentes conectados dessas trajetórias correspondem exatamente aos fios. Você pode definir a trajetória como um mapeamento de função de transição (alguma estrutura adicional) cada aresta para seu sucessor; esta é uma permutação em arestas (estruturadas) cujos ciclos são os componentes.
A função de transição pode ser codificada como seu próprio gráfico derivado, direcionado (semelhante a um mapa codificado por gráfico ), cujos componentes conectados são os componentes do knotwork. Da álgebra linear, sabemos que o número de componentes conectados pode ser recuperado como a multiplicidade do autovalor zero do Laplaciano da matriz de adjacência.
No entanto, eu sei que o mesmo gráfico $G$pode ter vários embeddings planares não isomórficos (ou seja, cujos duais são não isomórficos). Até agora, em minha experiência, isso mudou algumas das propriedades de atamento (como o número de torções em cada componente), mas não o número de componentes:

Minha pergunta é esta:
Pergunta: O número de componentes em um nó depende da incorporação planar específica? Como podemos provar isso?
Minha intuição diz que o número de componentes é invariável, mas não fui capaz de produzir um contra-exemplo ou prova usando minha abordagem acima.
Conjectura: Se $G$ é um gráfico, então o nó correspondente tem $c$ componentes, onde
$$T_G(-1,-1) = (-1)^{|E(G)|}\cdot (-2)^{c - 1}$$
e $T_G$ é o polinômio Tutte, e $|E(G)|$é o número de arestas no gráfico. (?)
Respostas
Deixei $D$seja o diagrama de um link. Por exemplo,$D$poderia ser o diagrama do nó celta ou link retratado em sua postagem. Deixei$G$ seja o gráfico quadriculado de $D$. O gráfico$G$ é o gráfico descrito em seu primeiro ponto.
Resposta: O número de componentes de$D$ é determinado pelo gráfico abstrato $G$ e não depende de como $G$ está embutido no avião.
Até onde sei, isso foi provado pela primeira vez por Michel Las Vergnas em 1979. Ele mostrou que o número de componentes de $D$ é determinado pela avaliação polinomial de Tutte $T_G(-1,-1)$. Uma vez que o polinômio Tutte não depende de uma incorporação particular de$G$, o resultado segue. A referência para este artigo é
- Las Vergnas, Michel. Em partições Eulerianas de gráficos . Teoria de grafos e combinatória (Proc. Conf., Open Univ., Milton Keynes, 1978), pp. 62-75, Res. Notes in Math., 34, Pitman, Boston, Mass.-London, 1979.
Não consegui encontrar facilmente uma cópia do artigo acima, então aqui está outra maneira de obter a solução, devido a Dan Silver e Susan Williams ( link arXiv ). Eles definem uma matriz$Q_2(G)$ cujas entradas estão no campo com dois elementos $\mathbb{F}_2$do seguinte modo. Ambas as linhas e colunas da matriz são indexadas pelos vértices$v_1,\dots,v_n$ do $G$. E se$i\neq j$, então o $ij$ entrada de $Q_2(G)$ é o número de arestas entre vértices $v_i$ e $v_j$ (ocupado$\mod 2$) o$ii$ entrada de $Q_2(G)$ é a soma das outras entradas na linha $i$ (novamente tomada$\mod 2$) Equivalentemente, poderíamos dizer o$ii$ entrada em $Q_2(G)$ é a soma das outras entradas na coluna $i$.
No Teorema 1.1 do artigo vinculado, eles provam que o número de componentes de $D$ é igual à nulidade de $Q_2(G)$. Eles observam na Observação 1.2 que isso implica no número de componentes de$D$ é independente do plano de incorporação de $G$.
Edit: Não tenho acesso ao artigo de Las Vergnas, mas posso dar outra explicação do resultado usando o polinômio de Tutte e o polinômio de Jones.
Deixei $L$ ser um link alternativo, vamos $D$ seja um diagrama alternativo do link, e deixe $G$ seja o gráfico quadriculado de $D$. Então o polinômio Tutte$T_G(x,y)$ do $G$ e o polinômio de Jones $V_L(t)$ do $L$ estão relacionados da seguinte forma: $$V_L(t) = f_D(t) T_G(-t,-t^{-1})$$ para a função $f_D(T)$ definido por $$f_D(t) = (-1)^{w(D)}t^{\frac{1}{4}(|E| - 2(|V|-1)+3w(D))}$$ Onde $w(D)$ é a contorção de $D$, $|E|$ é o número de arestas em $G$, e $|V|$ é o número de vértices de $D$. Notar que$|f_D(1)|=1$, e assim $|V_L(1)| = |T_G(-1,-1)|$.
O polinômio de Jones satisfaz a relação da meada $$(t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})V_{L_0}(t) = t^{-1}V_{L_+}(t) - tV_{L_-}(t)$$ Onde $L_+,L_-,$ e $L_0$ são como abaixo.

Configuração $t=1$ na relação de meada acima produz $V_{L_+}(1)=V_{L_-}(1)$. Em outras palavras, o polinômio de Jones avaliado em$t=1$ não muda sob mudanças cruzadas, e assim $V_L(1)=V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)$ Onde $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ é o link trivial com o mesmo número de componentes que $L$. O polinômio de Jones de$\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$ é $V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(t) = (-t^{\frac{1}{2}}-t^{-\frac{1}{2}})^{m-1}$ Onde $m$ é o número de componentes de $\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc$. portanto$$|T_G(-1,-1)|=|V_L(1)|=|V_{\bigcirc\sqcup\dots\sqcup\bigcirc}(1)| = 2^{m-1}.$$
O caso acima trata quando $L$está alternando. E se$L$não é alternado, proceda da seguinte forma. Deixei$D$ ser qualquer diagrama de $L$. Definir$D_{\text{alt}}$ para ser um diagrama com a mesma sombra que $D$ mas cujos cruzamentos são alterados para serem alternados, e definem $L_{\text{alt}}$ para ser o link cujo diagrama é $D_{\text{alt}}$. Observe que$D$ e $D_{\text{alt}}$ tem o mesmo gráfico quadriculado $G$. O argumento acima implica que$|T_G(-1,-1)|=2^{m-1}$ Onde $m$ é o número de componentes de $L_{\text{alt}}$. Desde a$L_{\text{alt}}$ e $L$ têm o mesmo número de componentes, o resultado segue para $L$ também.