OLS por matrixform

Question

Se eu tiver o modelo: $y = β_1x_1 + β_2x_2 + u$.
Tenho que mostrar que o estimador OLS é:

Eu acho que tenho que usar $\beta =\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \end{pmatrix}=(X^tX)^{-1}X^tY$. Mas estou um pouco confuso. Alguém pode escrever as matrizes X e Y? Eu só tenho que multiplicar a primeira coordenada no$2\times1$, porque eu só tenho que mostrar para $\beta_1$?

Answer 1

$$\require{cancel} \xcancel{ X = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. \qquad {}} $$

Edição posterior: Não percebi que o modelo proposto na postagem original não possui interceptação. Então isso significa que temos$$ X = \left[ \begin{array}{cccc} x_{11} & x_{12} \\ \vdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} \end{array} \right]. \qquad\qquad Y = \left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right]. $$