Pergunta sobre a prova de continuidade da função de Thomae

Question

A função definida por $$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{q} & x=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}, (p,q)=1 \\ 0 & x\in\mathbb{I} \end{cases}$$ é contínuo em todo irracional em $]0,+\infty[$, mas descontínuo em cada racional em $]0,+\infty[$.

Prova de que é contínuo em cada irracional não negativo:

Deixei $b>0$ seja irracional e $\varepsilon>0$. Temos que mostrar que existe um$\delta>0$ de tal modo que $$|x-b|<\delta\implies |f(x)-f(b)|<\varepsilon.$$ Pela propriedade arquimediana, existe um número natural $n_0$ de tal modo que $\frac{1}{n_0}<\varepsilon$.

O intervalo $(b-1,b+1)$ contém finitamente muitos racionais com denominador menor que $n_0$. Portanto, podemos escolher um$\delta>0$ suficientemente pequeno para que o intervalo $(b-\delta,b+\delta)$ não contém nenhum racional com denominador menor que $n_0$.

Segue-se que, para $|x-b|<\delta$ com $x>0$, temos $$|f(x)-f(b)|\leq\frac{1}{n_0}<\varepsilon.$$

Consegui entender a prova, mas como posso mostrar que o intervalo $(b-1,b+1)$ contém finitamente muitos racionais com denominador menor que $n_0$?

Answer 1

Bem .. este é um intervalo de comprimento $2$. Frações com denominador$2$ estão dentro de um $1/2$ distância um do outro, então não mais do que $4$daqueles dentro do intervalo determinado. Frações com denominador$3$ está $1/3$ distância um do outro, então não mais do que $6$ etc. Frações com denominador menor que um dado $n_0$ são um número finito pelo mesmo raciocínio.