Pergunta sobre o espaço vetorial e o subespaço

Question

Deixei $A = \{(x, y, z, w) \in \mathbb F^4 | x - 3y + w = -7\}$. É$A$um espaço vetorial? É um subespaço?

Só quero confirmar se estou fazendo certo ou não.

Para $A$ para ser um espaço vetorial, deve satisfazer a propriedade de fechamento e a adição.

Deixei $a_1 = (x_1, y_1, z_1, w_1)$ e $a_2 = (x_2, y_2, z_2, w_2)$.

$$\tag{1} x_1 - 3y_1 + w_1 = -7,$$

$$\tag{2}x_2 - 3y_2 + w_2 = -7,$$

$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, w_1 + w_2)$$

$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2) - 3 ( y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -7$$

$a_1 + a_2$ é um elemento de $A$. Adicionando (1) e (2) obtemos,

$$(x_1 + x_2) - 3(y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -14.$$

$a_1 + a_2$ não é um elemento de $A$. Conseqüentemente$A$ não é um espaço vetorial e não é um subespaço.

Está certo?

Answer 1

Não, você não está fazendo certo. Seu trabalho não é necessariamente incorreto, mas você perdeu o objetivo do exercício.

O conjunto fornecido não contém o elemento $(0,0,0,0)$. Portanto, não é um subespaço de$\mathbb{F}^4$. Não é nem mesmo um espaço vetorial se estivermos considerando a multiplicação escalar por entrada e a adição de vetores.

Você meio que perdeu algumas etapas importantes. Para verificar se algo é um espaço vetorial, você precisa verificar um monte de axiomas diferentes (8 axiomas diferentes, dependendo do livro que você aprendeu). Para verificar se algo é um subespaço de um determinado espaço vetorial, você precisa apenas verificar se ele satisfaz o fechamento em ambas as operações e contém a identidade aditiva do espaço vetorial. Você deve revisar essas definições antes de resolver mais problemas.

Answer 2

Cada subespaço vetorial deve conter a origem. As linhas e planos que passam pela origem formam subespaços vetoriais.