Probabilidade de ambos e pelo menos um?

Question

Na probabilidade condicional - digamos que há dois eventos $A$ e $B$ com probabilidades $\Pr(A)$ e $\Pr(B)$. É a probabilidade condicional

$$\Pr(A\cap B | A\cup B) = \frac{\Pr\big((A\cap B)\cap(A\cup B)\big)}{\Pr(A\cup B)} = \frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(A\cup B)}\text?$$

Ou seja, a probabilidade de ambos os eventos acontecerem "e" pelo menos um evento acontecer é equivalente à probabilidade de ambos os eventos acontecerem?

Answer 1

$(A\cap B) \subset \begin{cases}A\\B \end{cases} \subset (A\cup B)$ então $(A\cap B)\subset (A\cup B)$.

E se $M \subset N$ então $M\cap N= M$. Ou seja, a interação de um subconjunto com seu superconjunto é o subconjunto, pois está completamente contido nele.

então $(A\cap B) \cap (A\cup B) = (A\cap B)$

....

E se $M = N$ a $P(M) = P(N)$ porque eles são exatamente a mesma coisa.

....

Então, sim, podemos presumir $P([A\cap B]\cap [A\cup B]) = P(A\cap B)$.

.....

Então, se fizermos o seguinte

$P(A\cap B|A\cup B) \underbrace{=}_{\text{conditional probability law}}$

$\frac {P\color{blue}{([A\cap B]\cap [A\cup B])}}{P(A\cup B)} \underbrace{=}_{\color{blue}{([A\cap B]\cap [A\cup B])} = \color{green}{A\cap B}}$

$\frac {P\color{green}{(A\cap B)}}{P(A\cup B)}$

essa é uma conclusão válida.

Answer 2

Sim. Você está certo.$$\Pr(A\cap B | A\cup B)=\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(A\cup B)}$$