Prova do teorema do limite central multivariado

Question

$\newcommand{\phi}{\varphi}$ $\newcommand{\eps}{\epsilon}$

Estou usando o livro chamado 'A Course in Large Sample Theory' de Thomas S. Ferguson. Durante o estudo da prova da teoria do limite central no livro, não entendi algo, então faço uma pergunta aqui.

O teorema afirma o seguinte: Deixe $X_1, X_2, \dots$ ser iid vetores aleatórios com média $\mu$ e matriz de covariância finita, $\Sigma$. Então$\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)\overset{d}{\to}N(0,\Sigma)$ Onde $\overset{d}{\to}$ denota a convergência na distribuição.

A prova deste teorema é a seguinte: $\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu) = (1/\sqrt{n})\sum_{1}^{n}(X_j - \mu)$, temos $$ \begin{align*} \phi_{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}(t) &= \phi_{\sum_{1}^{n}(X_j - \mu)}(t/\sqrt{n}) \\ &=\phi(t/\sqrt{n})^n \end{align*}$$ Onde $\phi(t)$ é a função característica de $X_j - \mu$. Então, desde$\phi(0) = 1, \dot{\phi}(0) = 0$e $\ddot{\phi}(\eps)\to -\Sigma$ Como $\eps\to 0$, temos, aplicando o teorema de Taylor, $$ \begin{align} \phi_{\sqrt{n}(\bar{X}_n - \mu)}(t) &= \left(1 + \frac{1}{n}t'\int_{0}^1\int_0^1 v\ddot{\phi}(uv\cdot t/\sqrt{n})dudv\cdot t\right)^{n} \\ &\to \exp\left(\lim_{n\to\infty}t'\int_0^1\int_0^1v\ddot{\phi}(uv\cdot t/\sqrt{n})dudv\cdot t\right) \\ &= \exp(-(1/2)t'\Sigma t). \end{align}$$ Minhas primeiras perguntas são as seguintes:

1. Como nós sabemos $\ddot{\phi}(\eps)\to -\Sigma$? Acho que deve ser trivial, já que o livro simplesmente diz que sabemos disso.
2. Como a primeira igualdade (após a aplicação do teorema de Taylor) se mantém?
3. Como o segundo ($\dots = \exp(-(1/2)t'\Sigma t)$) igualdade manter?

Se já houver uma resposta para esta pergunta, sinto muito por postá-la novamente e, por favor, compartilhe o link no commend, então fecharei minha postagem. Qualquer ajuda sobre esta questão seria muito útil.

Answer 1

$\newcommand{\E}{\operatorname{E}}\newcommand{\vp}{\varphi}\newcommand{\0}{\mathbf 0}$Isso responde às suas duas primeiras perguntas. Vou atualizar quando tiver tempo, a menos que outra pessoa responda à terceira pergunta antes de mim.

Não há nenhuma condição de regularidade mencionada aqui, portanto, trocarei livremente os limites com os valores esperados (por exemplo, posso trocar um derivado e uma expectativa). Eu também vou levar$\E X = \0$sem perda de generalidade. Eu também estou assumindo$\vp$ refere-se a uma função característica.

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Para sua pergunta 1, temos $$ \vp(t) = \E(e^{it^TX}) $$ então $$ \dot{\vp}(t) = \E(iX \cdot e^{it^TX}) $$ e $$ \ddot{\vp}(t) = \E(-XX^T \cdot e^{t^TX}). $$ Então $$ \lim_{t\to \0} \ddot{\vp}(t) = -\E\left(XX^T \cdot\lim_{t\to\0} e^{it^TX}\right) \\ = -\E(XX^T) = -\Sigma $$ já que a média é zero.

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Então, para a pergunta 2, temos a integral $$ \int_0^1\int_0^1 v\ddot{\vp}(uv \cdot t/\sqrt n)\,\text du\,\text dv \\ = \E_X\left[-XX^T \int_0^1\int_0^1v e^{iuvt^TX/\sqrt n}\,\text du\,\text dv\right]. $$ Vou primeiro integrar o wrt $u$ para obter $$ \int_0^1 e^{iuvt^TX/\sqrt n}\,\text du = \frac{e^{ivt^TX/\sqrt n} - 1}{i vt^TX/\sqrt n} $$ então, cancelar o $v$eu tenho $$ \frac{\sqrt n}{i t^TX} \left( \int_0^1 e^{ivt^TX/\sqrt n}\,\text dv - 1\right) \\ = \frac{\sqrt n}{i t^TX}\left(\frac{e^{it^TX/\sqrt n}}{it^TX/\sqrt n} - \frac 1{it^TX/\sqrt n} - 1\right) \\ = -\frac{n}{(t^TX)^2}\left(e^{it^TX/\sqrt n} - 1 - i t^TX / \sqrt n\right). $$ Isso significa $$ 1 + \frac{1}{n}t^T\left(\int_{0}^1\int_0^1 v\ddot{\vp}(uv\cdot t/\sqrt{n})\,\text d u\,\text dv\right)\cdot t \\ = 1 + \frac{1}{n}t^T\E_X\left[-XX^T \int_0^1\int_0^1v e^{iuvt^TX/\sqrt n}\,\text du\,\text dv\right]\cdot t \\ =1 + t^T\E_X\left[XX^T \frac{1}{(t^TX)^2}\left(e^{it^TX/\sqrt n} - 1 - i t^TX / \sqrt n\right)\right]\cdot t \\ = 1 + \E_X(e^{it^TX/\sqrt n}) - 1 - i t^T\E_X(X) / \sqrt n \\ = \E_X(e^{i t^TX/\sqrt n}). $$ Aplicando o expoente de $n$ dá o resultado desejado lá.

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