Provar que um processo estocástico é gaussiano e contínuo

Question

Estou tendo dificuldades para entender quando e como provar se um determinado processo estocástico é gaussiano e contínuo. Em minhas tarefas e exames, recebo um processo, por exemplo$$ X_t = (1-t)\int_0^t \frac{1}{1-s}dB_s $$ ou $$ Y_t = tB_t - \sigma \int_0^t B_s ds$$Aqui, sou questionado se o processo é gaussiano e / ou contínuo. O professor não soube explicar muito bem o raciocínio, ele disse se um processo pode ser escrito como um vetor Gaussiano de tempo discreto, então no limite seria um processo Gaussiano discreto.

Minha abordagem seria dividir a grade de tempo em uma partição $ \pi = \lbrace t_1= 0, t_2,\; \dots \; ,t_m =t \rbrace$ e discretizar o processo como um vetor:

$$(X_{t_1},X_{t_2},... X_{t_m} ) = \left((1-t_1)\int_0^{t_1} \frac{1}{1-s}dB_s \;, \; \dots \;,\; (1-t_m)\int_0^{t_m} \frac{1}{1-s}dB_s \right) \\ = \lim_{n \to +\infty} \left( (1-t_1)\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1-t_{\frac{k}{n}}}\left[B(t_{\frac{k+1}{n}})-B(t_{\frac{k}{n}})\right] , \;\dots \;, \;(1-t_m)\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1-t_{\frac{mk}{n}}}\left[B(t_{\frac{mk+1}{n}})-B(t_{\frac{mk}{n}})\right] \right) $$Esta abordagem é correta para a Gaussianidade? Como você faria para mostrar continuidade? (Ele simplesmente diz em suas notas "por construção é contínuo" mas isso não é satisfatório para mim).

Answer 1

A distribuição de um processo estocástico é expressa através das distribuições de dimensão finita, ou seja, a coleção de distribuições de todos os vetores da forma $\left(X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_k}\right)$ para tudo possível $k = 1,2,...$ e $t_1 < ... < t_k$. Um processo estocástico de tempo contínuo é gaussiano se todas as suas distribuições de dimensão finita forem gaussianas - então, sim, é suficiente olhar para pontos discretos no tempo, mas seu argumento tem que funcionar para muitos desses pontos arbitrariamente.

Para continuidade, você deve corrigir um caminho de amostra $\omega$ e argumentar que o mapeamento $t \mapsto X_t\left(\omega\right)$ é contínuo para ae $\omega$. O próprio movimento browniano tem essa propriedade, portanto, você pode usá-lo como um bloco de construção para outros processos.