Prove a existência e a singularidade da função adjunta de uma função linear

Question

Definição

Deixe ser $V$ e $U$dois espaços vetoriais equipados com um produto interno. Então, dada uma transformação linear$f:V\rightarrow W$ uma função $f^*:U\rightarrow V$ é chamado de adjunto de $f$ E se

1. $$ \big\langle \pmb u,f(\pmb v)\big\rangle=\big\langle f^*(\pmb u),\pmb v\big\rangle $$

para todos $\pmb v\in V$ e $\pmb u\in U$.

Teorema

Para cada transformação $f:V\rightarrow U$ existe um único anexo $f^*$ satisfazendo a condição da definição acima.

Então, para seguir minha tentativa de prova.

• Escolha uma base $\mathcal{V}:=\{\pmb v_1,...,\pmb v_n\}$ para $V$ e uma base $\mathcal{U}:=\{\pmb u_1,...,\pmb u_m\}$ do $U$. Então$f$ pode ser caracterizado pelo $m\times n$ matriz $A$ de tal modo que $$ f(v_j)=\sum_{i=1}^ma_{i,j}\pmb u_i $$ para qualquer $j=1,...,n$. Agora deixe$\mathcal{V}':=\{\pmb v^1,...,\pmb v^n\}$ e $\mathcal{U}':=\{\pmb u^1,...,\pmb u^m\}$ as bases recíprocas de $\mathcal{V}$ e $\mathcal{U}$respectivamente. Então desde$f$ e $f^*$ são ambas transformações lineares, é suficiente verificar $(1)$ para $u$ igual a um elemento arbitrário da base $\mathcal{U}'$ e para $v$ igual a um elemento arbitrário da base $\mathcal{V}$. Então, observamos que$$ \big\langle\pmb u^i,f(\pmb v_j)\big\rangle=\biggl\langle\pmb u^i,\sum_{h=1}^ma_{h,j}\pmb u_h\biggl\rangle=\sum_{h=1}^ma_{h,j}\langle\pmb u^i,\pmb u_h\rangle=\sum_{h=1}^ma_{h,j}\delta_{i,h}=a_{i,j} $$ e $$ \big\langle f^*(\pmb u^i), \pmb v_i\big\rangle=\biggl\langle f^*\biggl(\sum_{h=1}^mb_{h,i}\pmb u_h\biggl),\pmb v_j\biggl\rangle=\biggl\langle\sum_{h=1}^mb_{h,i}f^*(\pmb u_h),\pmb v_j\biggl\rangle=\biggl\langle\sum_{k=1}^n\sum_{h=1}^ka^*_{k,h}b_{h,i}\pmb v_k,\pmb v_j\biggl\rangle=\sum_{k=1}^n\sum_{h=1}^ma^*_{k,h}b_{h,i}\langle\pmb v_k,\pmb v_j\rangle=\sum_{k=1}^n\sum_{h=1}^m\langle\pmb v_j,\pmb v_k\rangle a^*_{k,h}b_{h,i}=\sum_{k=1}^n\sum_{h=1}^mc_{j,k} a^*_{k,h}b_{h,i} $$ Onde $b_{h,i}=\langle \pmb u^h,\pmb u^i\rangle$ para cada $h=1,...,m$. Então se$B$ e $C$ são a matriz de mudança de base de $\mathcal U'$ para $\mathcal U$ e de $\mathcal V$ para $\mathcal V'$respectivamente, então me parece ( ISSO É VERDADE? ) que$\sum_{k=1}^n\sum_{h=1}^mc_{j,k} a^*_{k,h}b_{h,i}=(C\cdot A^*\cdot B)_{j,i}$ para que eu tenha que escolher os elementos de $A^*$ de tal modo que $(C\cdot A^*\cdot B)_{j,i}=a_{i,j}$ mas infelizmente não posso fazer isso: parece que a igualdade acima implica que $A^*=C^{-1}\cdot A^{tr}\cdot B^{-1}$ mas não tenho certeza sobre isso.

Ressalto que minha tentativa de prova é a mesma dada por Ray M. Bowen e CC Wang em Introdução aos vetores e tensores e eles usam o teorema acima para provar através do isomorfismo canônico a existência de uma função adjunta entre os espaços duais. Alguém poderia me ajudar, por favor?

Answer 1

Devo admitir, perdi o rumo no final aí, mas acho que começou bem. Acho que o ingrediente que falta aqui é que, assim como$\mathcal{U}'$ é duplo (ou recíproco) para $\mathcal{U}$, também é $\mathcal{U}$ dual para $\mathcal{U}'$. Como tal, o seguinte vale para todos$u \in U$: $$u = \sum_{i=1}^m \langle u, u_i\rangle u^i.$$ Em particular, se considerarmos $u = f^*(v^i)$, então $$f^*(v^i) = \sum_{j=1}^m \langle f^*(v^i), u_j\rangle u^j$$ e, portanto $$f^*(v^i) = \sum_{j=1}^m \langle v^i, f(u_j)\rangle u^j. \tag{2}$$ É importante ressaltar que isso nos dá $f^*(v^i)$ puramente em termos de quantidades vetoriais conhecidas e, de fato, como uma combinação linear de $\mathcal{U}'$. Desta forma, podemos construir uma matriz$A$ para $f^*$ de $\mathcal{V}'$ para $\mathcal{U}'$ definindo $(A)_{ij} = \langle v^i, f(u_j)\rangle$.

Existem algumas etapas extras aqui que o argumento acima encobriu. Meu trabalho assumiu a existência de (pelo menos uma) função$f^* : V \to U$satisfazendo a definição de um adjunto. Eu mostrei a ação de$f^*$ Na base $\mathcal{V}'$ é único (ou seja, cada adjunto mapeia os vetores de base em $\mathcal{V}'$aos mesmos vetores). Isso quase prova exclusividade; precisaríamos mostrar que$f^*$ é linear, então use o fato de que os mapas lineares são definidos exclusivamente em bases.

Por outro lado, a fim de estabelecer a existência de um dual, poderíamos começar usando $(2)$ como uma definição, e estender $f^*$ linearmente para todos $V$. Ou seja, nós definiríamos$$f^*\left(\sum_{i=1}^n a_i v^i\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j = 1}^m a_i \langle v^i, f(u_j)\rangle u^j.$$ Teríamos então que verificar se $f^*$satisfaz a definição de adjunto. Ou seja, precisamos mostrar, para todos$u \in U$, $$\langle f^*(v), u \rangle = \langle v, u \rangle.$$ Nós temos, \begin{align*} \langle f^*(v), u \rangle &= \left\langle \sum_{i=1}^n \sum_{j = 1}^m a_i \langle v^i, f(u_j)\rangle u^j, \sum_{k = 1}^m \langle u, u^k\rangle u_k\right\rangle \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m a_i \langle v^i, f(u_j)\rangle \langle u, u^k\rangle \langle u^j, u_k \rangle \\ &= \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^m \left\langle \sum_{i=1}^n a_i v^i, f(u_j)\right\rangle \langle u, u^k\rangle \delta_{j,k} \\ &= \sum_{j=1}^m \langle v, f(u_j)\rangle \langle u, u^j\rangle \\ &= \left\langle v, f\left(\sum_{j=1}^m \langle u, u^j\rangle u_j\right)\right\rangle \\ &= \langle v, f(u) \rangle. \end{align*} Assim, a função proposta é de fato um adjunto, estabelecendo existência.