Qual é a derivação da fórmula do produto escalar?

Question

O que é uma explicação matemática da conexão entre: (1) projetar o vetor a no vetor b e multiplicar o comprimento projetado de a pelo comprimento do vetor b, e (2) a soma dos produtos dos componentes equivalentes dos dois vetores ?

Eu percebo que há uma dualidade entre um vetor bidimensional e uma matriz 1x2, que pode ser usada para explicar o cálculo do produto escalar. Mas eu não vi uma derivação matemática satisfatória e queria saber se há outra explicação matemática mais simples.

Answer 1

Vamos começar com a definição geométrica$$\vec a\cdot \vec b = ab\cos\theta$$ Além disso, suponha que temos uma base ortonormal $\{\hat e_i\}$. Então$$\vec a=\sum_i a_i\hat e_i\\\vec b=\sum_i b_i\hat e_i$$ Agora, usando a definição geométrica, se dois dos vetores de base são iguais $$\hat e_i\cdot \hat e_i=e_ie_i\cos 0=1$$e se dois vetores são diferentes $$\hat e_i\cdot \hat e_j=e_ie_j\cos\frac{\pi}2=0$$ Então $$\vec a \cdot\vec b=\vec a\cdot\left(\sum_i b_i\hat e_i\right)=\sum_i(\vec a\cdot \hat e_i)b_i=\sum_ia_i b_i$$