Qual é a magnitude do deslocamento?

Question

Estou estudando um arco para um caminho $c(t)=(x(t),y(t),z(t))$. Eu entendo que integramos a derivada da velocidade etc.

Minha pergunta é, geometricamente, o que é $|c(t)|$? $c(t)$ é uma fórmula de deslocamento, então minha interpretação ingênua é que tomar sua magnitude resultaria na distância percorrida, mas claramente não é o caso.

Como acompanhamento, qual é a diferença entre a taxa de variação do deslocamento e a taxa de variação da distância?

Answer 1

"Minha interpretação ingênua é que $|\overrightarrow{\boldsymbol{c}}(t)|$ é a distância percorrida. "

• $|\overrightarrow{\boldsymbol{c}}(t)|$ é a distância do ponto de referência, e é uma quantidade instantânea ($t$ representa um momento no tempo).
• Em contraste, a distância percorrida é medida em um intervalo de tempo, digamos,$[t_1,t_2]$, e igual $$\int_{t_1}^{t_2}\left|\overrightarrow{\boldsymbol{v}}(t)\right|\,\mathrm{d}t\\=\int_{t_1}^{t_2}\left|\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\boldsymbol{c}}(t)}{\,\mathrm{d}t}\right|\,\mathrm{d}t\\=\boxed{\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)^2}\,\mathrm{d}t}\\\neq\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\=|\overrightarrow{\boldsymbol{c}}(t)|.$$

Answer 2

Se você olhar para a fórmula para $|c(t)|$, então é igual a $$ \sqrt{x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2} $$ que mede a distância da origem no tempo $t$de acordo com a fórmula da distância (isso corresponde à intuição de que o deslocamento é como uma "forma de distância sinalizada / vetorial"). A taxa de variação da distância da origem seria$\frac{d}{dt} |c(t)|$ e seria um escalar, enquanto $c'(t)$ já que a taxa de variação da distância corresponderia à velocidade e é um vetor.