Raiz cúbica de uma matriz.

Question

como posso encontrar uma matriz A tal que $B=A^3$ Onde $$B=\begin{pmatrix} 8 & 12 & 0 \\ 0 & 8 & 12 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$$

Eu tentei trabalhar no polinômio característico de $A$, mas dado que é $f(t)=(8-t)^3$ então o único valor próprio de $B$ é 8. O que eu queria fazer é escrever $B=QDQ^{-1}$ Onde $D$é a matriz Diagonal mas não consegui. Eu já sei disso$A$ deve ser igual a $\begin{pmatrix} 2 & 1 &-1/2 \\ 0 &2&1\\ 0&0&2 \end{pmatrix}$.

Alguma sugestão?

Answer 1

Aqui está uma boa abordagem independente. Deixei$I$ denotar a matriz de identidade e escrever $$ N = \pmatrix{0&1&0\\0&0&1\\0&0&0}. $$ Sua matriz é $$ B = 8I + 12 N. $$ Eu afirmo (como um "palpite") que a raiz cúbica desta matriz pode ser escrita na forma $$ A = a_0 I + a_1 N + a_2 N^2. $$ Notar que $N^3 = 0$, nós expandimos $(a_0 I + a_1 N + a_2 N^2)^3$ para obter $$ B = A^3 = a_0^3 I + 3a_0^2a_1 N + 3a_0(a_1^2 + a_0a_2)N^2. $$ Agora basta resolver o sistema $$ \begin{cases} a_0^3 = 8\\ 3a_0^3a_1 = 12\\ 3a_0(a_1^2 + a_0a_2) = 0. \end{cases} $$