Representando uma transformação linear como uma matriz em termos de uma determinada base

Question

Eu sou novo na álgebra linear, preciso de ajuda para entender como representar uma transformação linear na base padrão de uma matriz

Considerar $M_{2}(\mathbb{R}),$ o espaço vetorial de todos $2 \times 2$matrizes reais. Deixei$$ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) $$ e se definirmos $\mathcal{A}(B)=A B$ para qualquer $B \in M_{2}(\mathbb{R})$. Mostra isso$\mathcal{A}$ é uma transformação linear em $M_{2}(\mathbb{R})$ e encontrar a matriz de $\mathcal{A}$ sob a base $E_{i j}, i, j=1,2$

Posso mostrar a parte da linearidade considerando a ação desta transformação linear na matriz $B+ \lambda C$, na verdade eu sei que isso será verdade para qualquer matriz $A$.
Mas como representar isso em termos de uma determinada base.

Observe aqui que tomei base $E_{i j}$ seja o $2 \times 2$ matriz com $(i, j)^{\text {th }}$ entrada 1 e outras entradas 0.

Answer 1

Você tem uma transformação linear $\mathcal{A}\colon M_{2\times 2}(\mathbb{R})\to M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ e você gostaria de saber sua matriz em termos de uma base padrão.

O que você gostaria de saber são os coeficientes $a_{ij}^{kl}$ quando você escreve $\mathcal{A}E_{11} = a_{11}^{11}E_{11}+a_{12}^{11}E_{12}+a_{21}^{11}E_{21}+a_{22}^{11}E_{22}$por exemplo. Depois de ter esses coeficientes, você os organiza em um apropriado$4\times 4$ forma de matriz $T$ de modo a $\mathcal{A}(B) = T\begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}^T$ Onde $b_{ij}$ são os coeficientes de $B$ com respeito ao $E_{ij}$ base.

Você também pode querer dar uma olhada em Representando uma Transformação Linear como uma Matriz

Answer 2

Vejamos como os coeficientes de uma matriz "comum" são encontrados. Suponha que queremos a matriz$R$ de uma rotação por $90^\circ$ dentro $\mathbb{R}^2$. Primeiro veja qual ação$R$tem em cada elemento base, então coloque-os como colunas da matriz, mantendo a mesma ordem. Assim desde$R\mathbf{i}=\mathbf{j}$ e $R\mathbf{j}=-\mathbf{i}$, a matriz de $R$ seria $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$.

$M_2(\mathbb{R})$ tem dimensão 4, cuja base pode ser considerada $E_{11}$, $E_{12}$, $E_{21}$, $E_{22}$. Para encontrar a matriz de$\mathcal{A}$, basta encontrar sua ação nos elementos de base; a saída$\mathcal{A}E_{ij}$ será uma coluna da matriz.

$$\mathcal{A}(E_{11})=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}=E_{11}-E_{21}$$ Similarmente, $$\mathcal{A}(E_{12})=E_{12}-E_{22},\qquad\mathcal{A}(E_{21})=-E_{11}+E_{21},\qquad\mathcal{A}(E_{22})=-E_{12}+E_{22}$$ Daí a matriz de $\mathcal{A}$com esta base na ordem dada é$$\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&0&-1\\-1&0&1&0\\0&-1&0&1 \end{pmatrix}$$

Por exemplo, $\mathcal{A}(E_{12})$ corresponde a $$\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\0&1&0&-1\\-1&0&1&0\\0&-1&0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\\-1\end{pmatrix}$$ que corresponde a $E_{12}-E_{22}$.