Restrição de Weil e Aberturas Distintas
Tenho duas perguntas relacionadas sobre a restrição de Weil. Deixei$E/F$ seja uma extensão de campo, e deixe $A$ feijão $E-$álgebra. Suponha que existam todas as restrições relevantes de escalares. Temos um mapa de normas$n: A \rightarrow RA$. Eu desejo mostrar isso para$f \in A$ temos $R(A_f) \simeq (RA)_{n(f)}$ (este é o problema 11.4.7 (6) nos Grupos Algébricos Lineares de Springer).
Usando a functorialidade, dado o mapa $A \rightarrow A_f$, temos um mapa induzido $RA \rightarrow R(A_f)$ e desde $n(f) \in RA$ é mapeado para algo invertível em $R(A_f)$, por propriedades universais, o morfismo $RA \rightarrow R(A_f)$ fatores através de $(RA)_{n(f)} \rightarrow R(A_f)$. No entanto, não tenho certeza de como proceder aqui.
Uma perspectiva mais unificada aqui é provavelmente dada pelos functores de pontos e pensamento relativo. Então aqui, trabalhando em um esquema básico$S' \rightarrow S$, para um $S$-scheme $Y$ e um $S'$-scheme $X$ temos
$Hom_{S'}(Y \times_S S', X)=Hom_S(Y, \Pi_{S'/S}X).$
Além disso, neste cenário, sabemos que aceitar restrições de escalares comuta com a mudança de base. Então, minha pergunta é; qual é a formulação esquemática da questão acima? Deixei$X=Spec(A)$ feijão $S'$esquema. Então, minha impressão é que o diagrama básico de mudança para localização seria$Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)$.
Então, por um argumento fácil, temos
$\Pi_{S'/S}(Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)) \simeq \Pi(Spec(A_f)) \times_{\Pi(S')} \Pi(Spec(A))$.
Embora pareça próximo, não consigo descobrir se este é o análogo correto da afirmação acima. Além disso, parece que nem mesmo apresento o mapa de normas, ou uso quaisquer propriedades universais sobre localização, então não tenho certeza de mim mesmo.
Por favor, deixe-me saber se você tem algum comentário ou se eu devo esclarecer algo.
Respostas
$\newcommand{\Res}{\mathsf{Res}}$ $\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}$$\ newcommand {\ Hom} {\ mathrm {Hom}} $
Eu gostaria de lhe dizer uma maneira de pensar sobre isso que considero instrutiva. Espero que você sinta o mesmo, embora, provavelmente, esteja fora do alcance do que Springer está realmente discutindo.
Para simplificar, vamos supor que $ E / F $ seja Galois e deixe-me denotar por $ \ Gamma $ o grupo $ \ mathrm {Gal} (E / F) $ e denotamos um elemento geral de $ \ Gamma $ por $ \ sigma $ ou $ \ tau $ .
Vamos começar definindo para todo $ \ sigma $ em $ \ Gamma $ o $ E $ -álgebra
$$ A ^ \ sigma: = A \ otimes_ {E, \ sigma} E $$
onde esta notação significa que estamos tomando o produto tensorial de $ E $ -algebras onde $ E \ para A $ é o mapa da estrutura e $ E \ para E $ é o mapa dado por $ \ sigma $ . Consideramos isso uma $ E $ -álgebra definindo $ e (a \ otimes b): = a \ otimes (eb) $ .
Notemos que temos um mapa de $ F $ -algebras
$$ \ sigma: A \ to A ^ \ sigma: a \ mapsto a \ otimes 1 $$
Observe, entretanto, que este mapa não é $ E $ -linear. De fato,
$$ \ sigma (ea) = (ea) \ otimes 1 = a \ otimes \ sigma (e) = \ sigma (e) (a \ otimes 1) $$
então $ \ sigma: A \ a A ^ \ sigma $ é $ \ sigma $ -linear.
Agora consideramos a álgebra $ E $
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma}: = \ bigotimes _ {\ sigma \ in \ Gamma_F} A ^ \ sigma $$
onde o produto tensorial do lado direito é um produto tensorial de $ E $ -álgebras. Devemos denotar um tensor simples geral em $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ por $ \ displaystyle \ bigotimes a_ \ sigma $ (ou seja, a $ \ sigma ^ \ text {th} $ -coordenada no tensor simples é $ a_ \ sigma $ ). Observe que $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ carrega uma ação $ \ Gamma $ natural ao permutar as coordenadas ou, mais explicitamente,
$$ \ tau \ left (\ bigotimes a_ \ sigma \ right) = \ bigotimes b_ \ sigma, \ qquad b _ {\ tau \ sigma} = a_ \ sigma $$
Observe que a ação de $ \ Gamma $ não é $ E $ linear, mas é $ F $ -linear.
Vamos agora considerar os $ F $ -álgebra $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} $ --os $ \ Gamma $ -pontos fixos de $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ . Temos uma inclusão óbvia de $ F $ -álgebras
$$ \ iota: (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ hookrightarrow A ^ {\ otimes \ Gamma} $$
Menos obviamente é o fato de que o mapa induzido de $ E $ -álgebras
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
é um isomorfismo de $ E $ -álgebras. Na verdade, é na verdade um isomorfismo de $ E $ -algebras com uma ação de $ \ Gamma $ onde $ \ Gamma $ atua na fonte por sua ação em $ E $ !
Por que $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ ou $ (A ^ {\ otimes {\ Gamma}}) ^ {\ Gamma} $ -importante? Bem, note que para qualquer $ F $ -álgebra $ R $ o mapa óbvio
$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ to \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$
é uma bijeção onde a ação $ \ Gamma $ em
$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) $$
leva um homomorfismo $ \ alpha $ a $ \ sigma \ circ \ alpha \ circ \ sigma ^ {- 1} $ onde $ \ sigma ^ {- 1} $ está agindo em $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E $ por sua ação sobre $ E $ e a ação de $ \ sigma $ é sobre $ R \ otimes_F E $ também agindo por $ E $ .
Mas, já notamos que temos um isomorfismo
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
de $ E $ -álgebras com $ \ Gamma $ -action. Assim, vemos que
$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} = \ Hom_E \ left (A ^ {\ otimes \ Gamma} , R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$
mas o que é um mapa $ \ Gamma $ -equivariant de $ E $ -algebras $ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ para R \ otimes_F E $ ? Bem, pela definição de produto tensorial acima de $ E $ , é uma coleção de mapas de $ E $ -álgebras
$$ f_ \ sigma: A ^ \ sigma \ to R \ otimes_F E $$
onde abreviamos $ f _ {\ mathrm {id}} $ para $ f $ de modo que para qualquer coleção $ a_ \ sigma \ in A ^ \ sigma $ você tem
$$ f_ \ sigma (a_ \ sigma) = \ sigma (f (a)) $$
Em outras palavras, você vê que tais dados são inteiramente determinados por $ f $ .
Em outras palavras, resumindo tudo, há uma série natural de bijeções
$$\begin{align}\Hom_F\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma,R\right) &= \Hom_E\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma\otimes_F E,R\otimes_F E\right)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A^{\otimes\Gamma},R\otimes_F E)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A,R\otimes_F E)\end{align}$$
ou, em outras palavras, mostramos que
$$ \ Res_ {E / F} \ Spec (A) = \ Spec \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ right) $$
Mais explicitamente, temos uma bijeção
$$ J: \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
dado levando $ f $ a $ (f \ otimes 1) \ mid_A $ .
Agora, o que isso tem a ver com o mapa de normas? Observe que temos um mapa multiplicativo
$$ N: A \ to A ^ {\ otimes \ Gamma}: a \ mapsto \ bigotimes \ sigma (a) $$
que chamamos de mapa de normas . Observe que este mapa não é aditivo, mas tem imagem em $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ .
Assim, se $ a \ in A $ então $ N (a) \ in (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ . Dada nossa discussão acima, agora é fácil verificar que
$$ \ Res_ {E / F} (D (a)) = D (N (a)) $$
Na verdade, o que é um mapa de $ F $ -schemes
$$ \ Spec (R) \ a D (N (a)) $$
mas um mapa de $ F $ -algebras
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ a R $$
de modo que $ N (a) $ mapeia para uma unidade. O que é um mapa de $ E $ -schemes
$$ \ Spec (R \ otimes_F E) \ to \ Spec (A) $$
mas um mapa de $ E $ -algebras
$$ A \ a R \ otimes_F E $$
Observe então que sob nossa bijeção acima
$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
um vê isso
$$ f (N (a)) = J (f) (a) $$
e assim $ f (N (a)) $ é uma unidade sse $ J (f) (a) $ é. Isso é exatamente o que queremos.
Deixe-me dizer uma última palavra sobre a relação entre o mapa de normas
$$ N: A \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
e versões mais familiares do mapa de normas. A saber, vamos supor que existe alguma $ F $ -álgebra $ B $ tal que $ A = B \ otimes_F E $ . Então, notamos que temos um isomorfismo de $ E $ -álgebras
$$ A ^ \ sigma = B \ otimes_F E \ otimes_ {E, \ sigma} E \ to A = B \ otimes_F E: (b \ otimes e_1) \ otimes e_2 \ mapsto b \ sigma (e_1) e_2 $$
Com isso, pode-se mostrar que existe um isomorfismo de $ E $ -álgebras
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong B \ otimes_E E ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong A \ otimes_E (E ^ {| \ Gamma |}) \ cong B ^ {| \ Gamma |} $$
Além disso, não é difícil verificar se o mapa natural
$$ B \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
é um isomorfismo. Assim, vemos que o mapa de normas é um mapa
$$ N: B \ otimes_F E = A \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma = B $$
Agora, deixe $ x \ in B \ otimes_F E $ agir à esquerda de $ B \ otimes_F E $ pela multiplicação à esquerda denotar isso por $ \ ell_x $ . Visto que $ B \ otimes_F E $ é um $ B $ -módulo livre de classificação finita, pode-se considerar $ \ det (\ ell_x) \ em B $ . Então, tem-se, sob as identificações acima, que $ N (x) = \ det (\ ell_x) $ .