Sequências, Análise Matemática, etc ...

Question

Deixei $ a_1, \ldots, a_p $ser fixados números reais positivos. Vamos considerar as sequências,$$s_n=\dfrac{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_p^n}{p}\ \text{and}\ x_n=\sqrt[n]{s_n},\quad n\in\mathbb N $$ Mostre que a sequência $ \{x_n \} $ é monotônico crescente.

Tentei fazer uma demonstração usando o seguinte, mas não deu em nada, $$\left (\sum_{k=1}^n a_k^p \right )^2\leq \sum_{k=1}^n a_k^{p+q}\sum_{k=1}^n a_k^{p-q},\ \forall p,q\in\mathbb R, a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R^+ $$

Answer 1

Deixei $n <m$. Então$ \sum\limits_{i=1}^{p} |a_i|^{n} \leq (\sum\limits_{i=1}^{p} |a_i|^{m})^{n/m} (\sum\limits_{i=1}^{p} 1)^{1-\frac n m}$ pela desigualdade de titular com expoentes $p=\frac m n$ e $q=\frac m {m-n}$. Basta levar os dois lados ao poder$1/n$ terminar.