Soma de dígitos e produto de dígitos

Question

Eu encontrei esse problema dado por meu amigo para mim. Pergunta: Mostre que não há número inteiro positivo de 2020 dígitos com pelo menos três dos dígitos como 5, de forma que a soma dos dígitos é igual ao produto dos dígitos.

Minha abordagem: Fiquei motivado ao ver o problema tratado por outros usuários e aos provedores de resposta do MathStackExchange para uma pergunta semelhante como esta, mas com apenas 4 dígitos e sem a restrição de três dígitos como 5. O link para isso está abaixo

O produto dos dígitos igual à soma dos dígitos

A abordagem foi manual e funcionou muito bem, como alguns acertos e tentativas, já que o número de dígitos era pequeno. Tentei primeiro generalizar essa abordagem para n dígitos. Mas eventualmente falhou porque o número de variáveis ​​era grande, então estou obtendo muitas possibilidades.

Answer 1

Escreva $a_1, a_2, \ldots, a_{2017}, a_{2018}, a_{2019}, a_{2020}$ para os dígitos, onde definimos $a_{2018} = a_{2019} = a_{2020} = 5.$

Então, se a soma for igual ao produto, temos $$125\prod_{i=1}^{2017}a_i = 15 + \sum_{i=1}^{2017} a_i \leq 15 + 2017(9) = 18168 \\ \implies \\ \prod_{i=1}^{2017} a_i \leq \lfloor 18168/125\rfloor = 145$$

Desde a $a_i \geq 1$ são inteiros, isso implica no máximo $\lfloor\log_2(145)\rfloor = 7$ deles são diferentes de $1$. Isso nos permite assumir$a_8,a_9,\ldots,a_{2016},a_{2017}$ Tudo igual $1$, e a equação product = sum torna-se $$125\prod_{i=1}^7a_i = 15 + 2010 + \sum_{i=1}^7a_i = 2000 + 25 + \sum_{i=1}^7a_i$$

Desde ambos $125\prod_{i=1}^7a_i$ e $2000$ são múltiplos inteiros de $125$, segue que $25+\sum_{i=1}^7a_i$ também é um múltiplo inteiro de $125$.

Isso, no entanto, é impossível, uma vez que $$25 \leq 25+\sum_{i=1}^7a_i \leq 25+7(9) = 88$$ e não há múltiplo inteiro de $125$ entre $25$ e $88.$

Agradeço a Daniel Fischer por apontar um erro aritmético na minha solução original, bem como um método mais curto para a contradição na última parte da prova