Teorema binomial vs probabilidade de uma sequência

Question

No livro de Daniel Kahneman "Thinking, Fast and Slow", ele oferece o seguinte exemplo de como nossas mentes identificam padrões causais fora do acaso.

Um hospital tem 6 bebês nascidos por dia. Sabemos que nascimentos masculinos e femininos são igualmente prováveis ​​e os nascimentos são independentes. Essas 3 sequências são igualmente prováveis?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Intuitivamente, não pensamos assim, no entanto, uma vez que os eventos são independentes, então todas as 3 sequências têm probabilidade igual (ele não afirma, mas presumo que seja $0.5^6$)

Minha pergunta é: como isso se reconcilia com o fato de que a probabilidade de ter 6 meninas em 6 nascimentos do binômio é muito menos provável do que 3 meninas (0,015625 vs 0,3125)? Se a pergunta fosse sobre sequências diferentes da mesma proporção de nascimentos G / B, então todos teriam a mesma chance, mas não consigo ver como isso é verdade em sua forma atual.

Answer 1

Minha pergunta é: como isso se reconcilia com o fato de que a probabilidade de ter 6 meninas em 6 nascimentos do binômio é muito menos provável do que 3 meninas (0,015625 vs 0,3125)?

A probabilidade de 3 meninas é a probabilidade de bbbggg, bbgbgg, bbggbg, bbgggb, bgbbgg, bgbgbg, bgbggb, gbbbgg, gbbgbg, gbbggb, bgggbb, bgbbgbb, gbgbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb, gbgb Cada um desses 20 tem probabilidade de 0,015625 individualmente, e para obter qualquer um deles você tem 0,3125 de probabilidade.

Essas 3 sequências são igualmente prováveis?

BBBGGG GGGGGG BGBBGB

Intuitivamente, não pensamos assim ...

Posso ver duas razões pelas quais fazemos essas avaliações de GGGGGG e BGBBGB diferentes:

Microestados e macroestados

Existem muitas outras maneiras de conseguir 3 garotas do que apenas a sequência BGBBGB.

Para obter esta sequência particular, a sequência BGBBGB é tão provável quanto obter a sequência GGGGGGG. Mas quando você está comparando o número total de meninas e meninos, você deve se preocupar com a ordem específica?

Freqüentemente, a pessoa não está interessada nos detalhes específicos, mas sim nos números globais. Por exemplo, alguém está interessado na probabilidade de um determinado número total de meninos e meninas, e não em uma ordem específica.

Essas distinções entre microestados e macroestados ocorrem com muita frequência na física. Por exemplo, se você furar um pneu, ele provavelmente perderá pressão e ficará vazio. No entanto, microscopicamente, um determinado estado de deflação pode ser tão provável quanto um determinado estado de permanecer cheio.

Probabilidade inversa

Indiretamente, quando estamos "analisando" uma sequência binária particular, não estamos apenas olhando para a probabilidade dessa sequência, mas sim para a probabilidade relativa . Isso ocorre porque muitas vezes não estamos diretamente interessados ​​na probabilidade da observação (não em primeiro lugar e apenas indiretamente), mas em vez disso, estamos interessados ​​no que a observação diz sobre os parâmetros desconhecidos subjacentes. E observações com probabilidade igual (dada uma hipótese particular) ainda podem contar uma história diferente (porque não têm necessariamente probabilidade igual para outras hipóteses). Não se trata da diferença de probabilidade para diferentes observações, mas da diferença de probabilidade (ou razão de verossimilhança ) para diferentes valores de parâmetros.

Se os parâmetros de probabilidade para meninos e meninas forem iguais $p_{boy}=p_{girl}=0.5$então a observação GGGGGG não é menos ou mais improvável do que a observação BGBBGB. No entanto, a observação GGGGGG ainda se destaca como uma observação especial, pois é relativamente mais provável quando$p_{girl}$é maior que. A observação GGGGGG é mais provável quando$p_{girl}>p_{boy}$ do que quando $p_{girl}=p_{boy}$e, portanto, o destacamos como um caso especial.

Portanto, no final, estamos mais frequentemente comparando / avaliando essas sequências por meio de razões de probabilidade.

Um exemplo de probabilidade para o caso de uma amostra ordenada de 5 está abaixo ('theta' é aqui a probabilidade de a 'b'). Você pode ver que apenas o número total é relevante (e não a ordem) para a probabilidade (isso se relaciona à suficiência ).

observation        probability of observing given theta

bbbbb              (1-theta)^0(theta)^5

rbbbb              (1-theta)^1(theta)^4
brbbb              (1-theta)^1(theta)^4
bbrbb              (1-theta)^1(theta)^4
bbbrb              (1-theta)^1(theta)^4
bbbbr              (1-theta)^1(theta)^4

rrbbb              (1-theta)^2(theta)^3
rbrbb              (1-theta)^2(theta)^3
rbbrb              (1-theta)^2(theta)^3
rbbbr              (1-theta)^2(theta)^3
brrbb              (1-theta)^2(theta)^3
brbrb              (1-theta)^2(theta)^3
brbbr              (1-theta)^2(theta)^3
bbrrb              (1-theta)^2(theta)^3
bbrbr              (1-theta)^2(theta)^3
bbbrr              (1-theta)^2(theta)^3

rrrbb              (1-theta)^3(theta)^2
rrbrb              (1-theta)^3(theta)^2
rbrrb              (1-theta)^3(theta)^2
brrrb              (1-theta)^3(theta)^2
rrbbr              (1-theta)^3(theta)^2
rbrbr              (1-theta)^3(theta)^2
brrbr              (1-theta)^3(theta)^2
rbbrr              (1-theta)^3(theta)^2
brbrr              (1-theta)^3(theta)^2
bbrrr              (1-theta)^3(theta)^2

brrrr              (1-theta)^4(theta)^1
rbrrr              (1-theta)^4(theta)^1
rrbrr              (1-theta)^4(theta)^1
rrrbr              (1-theta)^4(theta)^1
rrrrb              (1-theta)^4(theta)^1

rrrrr              (1-theta)^5(theta)^0