Trocando módulo e argumento em coordenadas polares

Question

Deixei $y=f(x)$em coordenadas cartesianas. Trocando o$x$ coordenar com o $y$ coordenada tem o efeito de reflexão sobre o eixo $y=x$.

Mas se $r=f(\theta )$ em coordenadas polares (onde $r$ é o módulo e $\theta$ é o argumento), o que acontece quando trocamos $r$ com $\theta$?

Por exemplo, qual é a diferença entre os gráficos polares de $r=\theta ^2$ e $\theta =r^2$? Eles têm a mesma aparência? Ou também existe algum tipo de reflexão?

Answer 1

As tramas polares de $r= \theta^2, \sqrt \theta, \theta$ são mostrados em azul, vermelho e cinza, respectivamente.

A linha cinza não reflete os perfis vermelho / azul de uma forma que eu possa imaginar.

Esta é , talvez, porque$(r,\theta)$ não têm a mesma dimensão física e pertencem a um tipo ou gênero comum.

$Z=r e^{i \theta}$é um número complexo. eu não sei o que$U = \theta e^{ir}$ realmente é.

Uma pergunta muito boa, mas minha resposta pode ser ruim. Isso é indiretamente sugerido que o requisito recíproco geométrico não foi atendido.

Answer 2

Coordenadas polares que chamamos de mapeamento bem conhecido $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, de $(x,y)$ para $(\theta, r)$ usando fórmulas $x = r\cos \theta$, $y = r\sin \theta$, $r \geqslant 0,\theta \in [0, 2\pi) $.

Quanto ao avião $(\theta, r)$, então são as coordenadas cartesianas usuais, usuais $\mathbb{R}^2$, e você pode pensar sobre isso exatamente como pensa sobre $(x,y)$. $r=\theta^2$ é exatamente parábola. $\theta=r^2$ são os dois ramos da raiz quadrada.

Usamos coordenadas polares, quando alguma função / curva parece "difícil" para $(x,y)$ e mapeando-o para $(\theta, r)$avião obtemos um caso mais "fácil". O exemplo mais conhecido é o círculo$x^2+y^2=r^2$, que por coordenadas polares se move para o intervalo $[0, 2\pi) \times \{1\}$. Disco$x^2+y^2\leqslant r^2$ é mapeado para retângulo $[0, 2\pi) \times [0,1]$.

Adição. Agora sobre como trocar variáveis. Por definição, a simetria axial não é uma transformação ortogonal idêntica que possui uma linha de pontos fixos. Essa linha é chamada de eixo de simetria . Para obter por ponto$M$ ponto simétrico $M'$ com respeito ao eixo de simetria, é necessário desenhar uma linha perpendicular ao eixo de simetria de $M$ e tomar o ponto $M'$ nesta perpendicular do outro lado do eixo de simetria na mesma distância que $M$.

Por exemplo, se considerarmos $y=x$ como eixo de simetria, então para ponto $(a,b)$ ponto simétrico é $(b,a)$.

Em breve $\mathbb{R}^2$ trocando coordenadas, ou seja, tendo gráfico $y=f(x)$ e considerando $x=f(y)$ está exatamente criando simetria em relação à linha $y=x$. O mesmo é, claro, se falarmos sobre$r=f(\theta)$ e considerando $\theta=f(r)$ - eles são simétricos em relação à linha $r=\theta$.

Outra questão é o que dá variáveis ​​de troca para $(x,y)$ dentro $(\theta, r)$e inverter. Vamos considerar primeiro o "plano polar". Como afirmado acima, trocar variáveis ​​ali significa simetria em relação à linha$r=\theta$. O último é a conhecida espiral de Arquimedes no "plano cartesiano". Então, trocando coordenadas$\theta$ e $r$ dá no avião $(x,y)$ representa graficamente "simétrico" em relação à espiral $r=\theta$ que é o mesmo que $\sqrt{x^2+y^2}=\arctan \frac{y}{x}$. Por exemplo parábola$r=\theta^2$, que é algum tipo de espiral em $(x,y)$, depois de trocar dá $\theta=r^2$, ou tomando seu único ramo, $r=\sqrt{\theta}$ é novamente uma espiral em $(x,y)$.

Resumindo:

1. parábola $y=x^2$ é axial simétrico em relação à raiz quadrada $x=y^2$ usando linha de eixo de simetria $y=x$.

2. Na espiral da linguagem "polar" $r=\theta^2$ é "espiral" simétrica em relação à espiral $\theta=r^2$ usando simetria "eixo" espiral $r=\theta$

Segundo exemplo. Vamos pegar o plano polar$r=\tan\theta$ ie pontos $(\theta,\tan\theta)$. Variáveis ​​de troca dão$\theta=\tan r$ ie pontos $(\tan r,r)$. Obviamente$(\theta,\tan\theta)$ é axialmente simétrico a $(\tan r,r)$ com respeito ao eixo de simetria $\theta=r$. Agora, se considerarmos os pontos correspondentes em$(x,y)$ plano, depois eixo de simetria $\theta=r$ cria espiral, enquanto $r=\tan\theta$ e $\theta=\tan r$ crie algumas curvas correspondentes em $(x,y)$: $\sqrt{x^2+y^2}=\frac{y}{x}$ e $\arctan \frac{y}{x}=\tan \sqrt{x^2+y^2}$. Obviamente$(x,y)$ curvas não são axialmente simétricas.

Se parece aceitável, podemos chamar de "espiral" simétrico no plano $(x,y)$ tais pontos, cujas pré-imagens são axialmente simétricas no plano $(\theta, r)$ com respeito ao eixo de simetria $\theta=r$.

Usando este termo, podemos chamar $\sqrt{x^2+y^2}=\frac{y}{x}$ e $\arctan \frac{y}{x}=\tan \sqrt{x^2+y^2}$ "espiral" simétrico no plano $(x,y)$.