Uma certa subálgebra de $sl(3,\mathbb{C})$ como um $sl(2,\mathbb{C})$ módulo

Question

Mostre que o subespaço de $sl(3,\mathbb{C})$ consistindo em matrizes da forma $$ A = \left( \begin{matrix} * & * & 0 \\ * & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $$

é isomórfico a $sl(2,\mathbb{C})$.

Podemos, portanto, considerar $sl(3,\mathbb{C})$ como um módulo para $sl(2,\mathbb{C})$ com a ação dada por $x \cdot y = [x,y]$ para $x \in sl(2,\mathbb{C})$ e $y \in sl(3,\mathbb{C})$. Mostre isso como um$sl(2,\mathbb{C})$ módulo

$$sl(3,\mathbb{C})=V_2 \oplus V_1 \oplus V_1 \oplus V_0$$

Onde $V_i$ é o espaço de todos os polinômios homogeneuos de grau $i$ dentro $\mathbb{C}[X,Y]$, ou seja, o único (até isomorfismo) irredutível $(i+1)$representação dimensional de $sl(2, \mathbb C)$.

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Ok, então para este problema o isomorfismo entre $A$ e $sl(2,\mathbb{C})$é o mais óbvio. Também estou entendendo muito bem como isso mostra que$sl(3,\mathbb{C})$ é um $sl(2,\mathbb{C})$ módulo.

Como faço para mostrar a decomposição em módulos irredutíveis ?? Ajuda apreciada, obrigado!

Answer 1

Mostre se você deixar $A$ agir (ou seja, entre colchetes $[A,X]$ com $X$ de) os subconjuntos

$$ \left( \begin{matrix} * & * & 0 \\ * & * & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ * & * & 0 \end{matrix} \right) , \left( \begin{matrix} 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & * \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right), \left( \begin{matrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & -2x \end{matrix} \right) $$

do $sl(3, \mathbb C)$respectivamente, cada um é a) estável eb) irredutível sob a ação. (Isso é quase trivial (trocadilho intencional) para o último, e você deve basicamente ter mostrado para o primeiro quando provou$A \simeq sl_2$.)

Agora, se você se sentir confortável em usar o fato de que irredutível $sl_2$- as representações são exclusivas até iso em cada dimensão, está feito, porque as dimensões dos espaços acima $3,2,2,1$respectivamente. Como uma verificação de sanidade e um lembrete da teoria do peso mais alto, você também pode verificar se o elemento

$$h= \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right) $$

age com autovalores $2,0-2$ no primeiro, com autovalores $1,-1$ no segundo e terceiro, e com autovalor $0$ no quarto.