Usando a definição do limite

Question

Eu preciso provar isso $\lim_{x\to 0}\frac{ax + b}{cx + d} = \frac{b}{d}$ usando uma prova de estilo 𝜖, 𝛿

Algumas ideias em como fazer isso?

Answer 1

Dica: considere a diferença $\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right|$ e tentar estimar, assumindo, é claro, as condições naturais das frações: $$\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right| = \left|\frac{x(ad-bc)}{d(cx+d)}\right|= |x|\left|\frac{(ad-bc)}{d(cx+d)}\right|$$ Para simplificar, vamos supor $c,d>0$, então, tendo $-\delta<x<\delta$ nós obtemos $-c\delta+d<cx+d<c\delta+d$. Então, podemos considerar tais$\delta>0$ para qual $|cx+d|>M>0$. Tomando, por exemplo$\delta >\frac{d}{2c}$ dá $|cx+d|>\frac{d}{2}$ Então teremos $$\left|\frac{ax+b}{cx+d}-\frac{b}{d}\right| < \delta\frac{2|ad-bc|}{d^2}<\varepsilon$$. Esta é a segunda condição em$\delta$ e juntando com prova de primeiros acabamentos.