Variação da métrica

Question

Estou olhando para a derivação das equações de campo de Einstein como as equações de Euler-Lagrange do funcional de Hilbert. Para fazer isso, começa com uma variação$$ g(t) = g+th $$ da métrica, onde $h$é um tensor 2-covariante simétrico. Para pequeno$t$, $g(t)$ será invertível (se interpretarmos como uma matriz), por isso faz sentido considerar os componentes $g(t)^{ij}$do inverso. Nós temos$$ 0 = \frac{d}{dt}\Big|_0 (g(t)_{ij} \, g(t)^{jk}) = h_{ij} g^{jk} + g_{ij}h^{jk} \quad\Rightarrow \quad h^{lk} = - g^{il} g^{jk} h_{ij}. $$ Minha pergunta: o que exatamente os coeficientes$h^{lk}$ representa?

Eu sempre pensei que se alguém tem um, digamos, tensor 1-covariante $A = A_i dx^i$, então $A^i$ denotam os componentes do tensor 1-contravariante $A^\#$(cf. isomorfismos musicais ), dado por$A^i = g^{ij}A_j$. Mas na fórmula para$h^{lk}$ acima, também temos um sinal de menos na frente, pelo que posso ver os coeficientes $h^{lk}$ não são obtidos aumentando os índices de $h_{lk}$. Dito isto, a métrica não está realmente fixada neste caso, então os isomorfismos musicais também não o são, o que pode ser uma fonte de confusão para mim.

Answer 1

Seu erro é que $$h^{jk} \neq \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{jk}.$$De fato, $h^{jk}$ é obtido a partir do aumento de ambos os índices de$h_{jk}$. O que você mostrou é que$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{\ell k} = -g^{i\ell}g^{jk}h_{ij} = - h^{\ell k}.$$A filosofia por trás disso é: você sabe que a velocidade inicial da curva $t\mapsto g(t)$ é $h$, e você deseja calcular a velocidade inicial de outros objetos geométricos associados a $g(t)$ em termos de $h$. A velocidade inicial da curva de coeficientes inversos é$-h$ (até isomorfismos musicais).

Lidando com coeficientes, você está fazendo cálculos em grupos de matriz de Lie. Lá, a fórmula para a derivada da inversão$\iota(A)=A^{-1}$ É dado por $d\iota_A(H) = - A^{-1}HA^{-1}$, então está tudo bem (compare com $(1/x)'=-1/x^2$e torná-lo não comutativo; cada$A^{-1}$ corresponde a aumentar um índice).